Корень уравнения — значение $x$, при котором выражение равно нулю: $f(x)=0$. Как находить — кратко по методам с примерами.
1) Линейные уравнения:
- Вид: $ax+b=0$. Решение: $x=-\frac{b}{a}$.
- Пример: $2x+3=7\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$.
2) Квадратные уравнения:
- Вид: $a{x}^2+bx+c=0$. Дискриминант $\Delta =b^2-4ac$.
- Если $\Delta >0$: два вещественных корня $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
- Если $\Delta =0$: один корень $x=-\frac{b}{2a}$.
- Если $\Delta <0$: два комплексных корня $x=\frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta |}}{2a}$.
- Пример: $x^2-5x+6=0$. $\Delta =25-24=1$, корни $x=\frac{5\pm 1}{2}=3,2$. Или разложением $(x-2)(x-3)=0$.
3) Разложение на множители (полиномиальные уравнения):
- Попытайтесь факторизовать: $(x-a)(x-b)\cdots =0$ даёт корни $x=a,b,\dots$.
- Рациональные корни можно искать по теореме о рациональных корнях (делители свободного члена/делители старшего коэффициента).
4) Подстановка и приведение к известным видам:
- Делайте замену, если вид повторяется: например при $x^4-5x^2+4=0$ положите $y=x^2$, получится квадратное уравнение для $y$.
5) Численные методы (когда аналитически нельзя):
- Метод деления отрезка (бисекция): если $f(a)f(b)<0$, берёте середину $c=\frac{a+b}{2}$ и сокращаете отрезок до нужной точности.
- Метод Ньютона: итерация $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$. Быстро сходится при хорошем приближении.
- Секущая: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ (не требует производной).
Пример Ньютона для $f(x)=x^2-2$ (поиск $\sqrt{2}$):
$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}=\frac{x_n+2/x_n}{2}$.
6) Проверка:
- Всегда подставьте найденный корень в исходное уравнение, чтобы убедиться, что $f(x)=0$ (или близко к нулю для численного решения).
Если скажете конкретное уравнение, объясню шаги применительно к нему.