Прямой способ (антидифференцирование):
$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C.$$ Значение на отрезке:
$${\int }_0^{\pi /4}\tan xdx=[-\ln |\cos x|{]}_0^{\pi /4}=-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2.$$
Замена переменной ($u=\cos x$):
$$u=\cos x,du=-\sin xdx\Rightarrow \tan xdx=\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\frac{du}{u}.$$ Для пределов: при $x=0$ имеем $u=1$, при $x=\pi /4$ — $u=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда
$${\int }_0^{\pi /4}\tan xdx=-{\int }_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{u}=-[\ln u{]}_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}\ln 2.$$
Сравнение и когда что предпочтительнее:
- Оба метода приводят к одинаковому результату $\frac{1}{2}\ln 2$.
- Прямое антидифференцирование удобно, если известна первообразная ($-\ln |\cos x|$ или $\ln |\sec x|$).
- Замена переменной полезна, когда интеграл очевидно содержит дробь вида $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ (здесь $f=\cos x$), или чтобы упростить вычисление определённого интеграла за счёт изменения пределов и избежать обратной подстановки.