Утверждение: $0.\overline{9}=1$.
Кратко — несколько разных доказательств, возражения и формальный аргумент.
1) Алгебраическое (классическое). Пусть $x=0.\overline{9}$. Тогда $10x=9.\overline{9}$. Вычитая, получаем $9x=9$, следовательно $x=1$.
2) Сумма геометрической прогрессии.
$0.\overline{9}={\sum }_{k=1}^{\infty }9\cdot 10^{-k}=9{\sum }_{k=1}^{\infty }(10^{-1}{)}^k$. Сумма геометрической прогрессии равна $\frac{a_1}{1-r}$, поэтому
$$0.\overline{9}=9\cdot \frac{10^{-1}}{1-10^{-1}}=9\cdot \frac{1}{9}=1.$$
3) Как предел последовательности конечных приближений. Положим $s_n=0.\underset{n}{99\dots 9}=1-10^{-n}$. Тогда $s_n\uparrow 1$ и ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n=1$. Формально: для любого $\epsilon >0$ выбрав $N$ с $10^{-N}<\epsilon$, получим $|s_N-1|=10^{-N}<\epsilon$.
4) Через супремум. Множество конечных десятичных дробей $\{0.9,0.99,0.999,\dots \}$ имеет верхнюю грань $1$. Так как $0.\overline{9}$ по определению равен пределу/супремуму этих приближений, оно равно $1$.
5) О представлениях десятичных дробей. В системе десятичных представлений некоторым числам соответствуют два представления: одно с конечным числом цифр (заканчивается на бесконечность нулей), другое — с бесконечными девятками. Например, $0.24999\dots =0.25$. Это не противоречие, а свойство десятичной записи.
Частые возражения и ответы:
- «Каждый конечный обрезок $0.9,0.99,\dots$ меньше 1, как же бесконечный не меньше?» Ответ: предел последовательности может быть больше всех её членов; предельная точка (либо супремум) равна 1, хотя все члены меньше 1.
- «Нельзя оперировать с бесконечностями так, как с конечными числами.» Ответ: в математическом анализе операции с пределами и бесконечными суммами определены через пределы частичных сумм; выше приведены такие корректные определения (геометрическая сумма, пределы).
- «Это артефакт десятичной системы.» Ответ: явление не зависит от основания: в любой позиционной системе базиса $b$ имеем $0.\overline{(b-1)}=1$. А в аксиоматике действительных чисел (полнота) пределы и супремумы определены однозначно.
Формальный ε-аргумент (коротко). Пусть $s_n=1-10^{-n}$ — $n$-ая конечная запись $0.\underset{n}{99\dots 9}$. Для любого $\epsilon >0$ выберите $N$ с $10^{-N}<\epsilon$. Тогда для всех $n\ge N$ имеем
$$|s_n-1|=10^{-n}\le 10^{-N}<\epsilon .$$ Значит ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n=1$, то есть $0.\overline{9}=1$.
Вывод: все корректные математические формулировки (алгебраическая, рядовая, предельная, свойства десятичной записи) дают один и тот же результат: $0.\overline{9}=1$.