Коротко — какие приёмы и на что смотреть (с формулами и ключевыми условиями).
1) Вьетова / симметрические функции корней.
Для корней $r_1,\dots ,r_4$ имеем
$$r_1+r_2+r_3+r_4=4,\sum _{i<j}{r}_i{r}_j=a,\sum _{i<j<k}{r}_i{r}_j{r}_k=-b,r_1{r}_2{r}_3{r}_4=c.$$ Эти соотношения полезны для вывода необходимых числовых соотношений между $a,b,c$.
2) Сдвиг для упрощения (депрессия).
Так как сумма корней $=4$, положите $x=y+1$. Тогда кубический член исчезает и получаете депрессированный многочлен
$$Q(y)=P(y+1)=y^4+p{y}^2+qy+r,$$ где $p,q,r$ выражаются через $a,b,c$. Работа с депрессированным видом проще для анализа экстр и факторизации.
3) Факторизация в произведение двух квадратных многочленов (очень практично).
Положите
$$P(x)=(x^2+ux+v)(x^2+wx+t).$$ Тогда
$$u+w=-4,v+uw+t=a,ut+vw=b,vt=c.$$ Для того, чтобы все четыре корня были вещественными, достаточно и необходимо, чтобы коэффициенты $u,v,w,t$ были вещественными и каждое квадратичное уравнение имело вещественные корни:
$$u^2-4v\ge 0,w^2-4t\ge 0,$$ (строго > для простых корней). Это даёт систему алгебраических условий на $a,b,c$.
4) Анализ производной и экстремумов (графический / аналитический критерий).
Пусть $P^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+2ax+b$. Необходимое условие для четырёх вещественных корней: $P^{\prime }(x)$ имеет три вещественных корня ${\alpha }_1<{\alpha }_2<{\alpha }_3$ (иначе максимум два корня). Тогда для простых четырёх корней требуется (учитывая старшую степень положительную)
$$P({\alpha }_1)<0,P({\alpha }_2)>0,P({\alpha }_3)<0.$$ В слабой (включая кратные корни) форме знаки могут быть нестрогими. На практике: вычислить корни $P^{\prime }$ (или исследовать дискриминант $P^{\prime }$) и подставить в $P$.
5) Дискриминант и результатант.
Дискриминант $\mathrm{Disc}(P)$ должен быть $\ge 0$ (строго $>0$ для четырёх различных корней). Для кратных корней $\mathrm{Res}(P,P^{\prime })=0$. Явная формула $\mathrm{Disc}(P)$ — большой многочлен от $a,b,c$, но вычисляется символически (например, с CAS) и даёт точный алгебраический критерий.
6) Струмовы последовательности и критерии реальных корней.
Для жёсткой проверки относительных неравенств по коэффициентам удобен алгоритм Штурма — даёт точное число вещественных корней на отрезках и позволяет выписать области в пространстве $(a,b,c)$.
7) Дополнительные полезные приёмы и неравенства.
- Правило Декстераса даёт оценку числа положительных корней.
- Если хочется получить простые необходимые/достаточные неравенства, можно применить критерии для двух квадратичных множителей или использовать неравенства Нютона после подходящего сдвига (если все корни неотрицательны).
Рекомендуемая последовательность практической работы:
1. Сделать сдвиг $x=y+1$ (депрессия).
2. Проверить условие: $\mathrm{Disc}(P^{\prime })\ge 0$ (требование трёх критических точек).
3. Либо попробовать факторизацию в две квадратики и наложить $u^2-4v\ge 0,w^2-4t\ge 0$ вместе с уравнениями для коэффициентов.
4. Для точных границ использовать дискриминант $\mathrm{Disc}(P)$ или алгоритм Штурма (CAS для явных неравенств).
Эти приёмы в комбинации дают полный инструмент для вывода условий на $a,b,c$.