Ошибка в логике: из того, что неравенство верно для всех $x$, нельзя сделать вывод, что оно «неверно при $x<0$». Наоборот, если из $(x-1{)}^2\ge 0$ следует $x^2\ge 2x-1$ для всех $x$, то строгое неравенство $x^2<2x-1$ не имеет ни одного решения.
Правильное рассуждение:
$$(x-1{)}^2\ge 0⟹x^2-2x+1\ge 0⟹x^2\ge 2x-1\text{для всех}x,$$ причём равенство достижимо при $x=1$. Следовательно
$$x^2<2x-1⟺(x-1{)}^2<0,$$ что невозможно на множестве действительных чисел. Итог: строгого неравенства нет решений (а не «только при $x<0$ неверно»).