Коротко: решение и сравнение подходов.
Решение (геометрия). f(x,y)=x^2+y^2 — квадрат расстояния от начала координат; условие $x+2y=3$ — прямая. Минимум достигается в проекции начала на эту прямую, т.е. в точке коллинеарной с нормалью $(1,2)$: ищем точку $t(1,2)$ на прямой
$$t+2\cdot (2t)=5t=3⟹t=\frac{3}{5},$$ получаем минимум в точке $(\frac{3}{5},\frac{6}{5})$ и значение
$$f={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{9+36}{25}=\frac{9}{5}.$$
Решение (метод множителей Лагранжа). Построим
$$L(x,y,\lambda )=x^2+y^2-\lambda (x+2y-3).$$ Условие стационарности:
$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x-\lambda =0,\frac{\partial L}{\partial y}=2y-2\lambda =0,x+2y=3.$$ Отсюда $x=\frac{\lambda }{2},y=\lambda$. Подставляя в ограничение:
$$\frac{\lambda }{2}+2\lambda =\frac{5\lambda }{2}=3⟹\lambda =\frac{6}{5},$$ получаем ту же точку $(\frac{3}{5},\frac{6}{5})$ и $f=\frac{9}{5}$.
Когда удобна геометрия:
- Низкая размерность (2D, 3D) и простые геометрические множества (прямые, окружности, сферы) — быстрое интуитивное решение.
- Нужно быстро получить картинку или уникальный очевидный минимум (проекция, пересечение).
Когда удобны множители Лагранжа:
- Более общие задачи: большое число переменных, несколько или сложных равенств; формальный метод универсален.
- Когда требуется алгоритическая/аналитическая процедура (можно программировать).
- При необходимости учесть дополнительные условия (переход к KKT для неравенств).
Ограничения и замечания:
- Геометрия даёт быстрый ответ в простых случаях, но плохо масштабируется в высоких размерностях или при сложных множествах.
- Лагранж даёт необходимые условия; нужно проверять, что найденные стационарные точки действительно минимумы (в данном случае задача выпуклая, поэтому найденный критический пункт — глобальный минимум).