Ниже — сжатое исследование и несколько дополнительных примеров.
Непрерывность в 0:
- Для $x\ne 0$ функция задана $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$, и $f(0)=0$.
- По неравенству ∣xsin⁡1x∣≤∣x∣\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le |x| xsinx1 ≤∣x∣ имеем ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$. Следовательно $f$ непрерывна в $0$.
Дифференцируемость в 0:
- По определению
$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\sin \frac{1}{h}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{h}.$$ Предел ${\lim }_{h\to 0}\sin \frac{1}{h}$ не существует (колеблется между $-1$ и $1$), значит $f^{\prime }(0)$ не существует. Итого: $f$ не дифференцируема в $0$.
Поведение для $x\ne 0$ и свойства производной:
- Для $x\ne 0$ по правилу произведения
$$f^{\prime }(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}.$$ Вторая составляющая $-\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}$ неограничена при $x\to 0$, поэтому $f^{\prime }(x)$ не имеет предела при $x\to 0$ и вообще неограничена в окрестности нуля.
Дополнительные примеры, иллюстрирующие тонкости:
- $g(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ при $x\ne 0$, $g(0)=0$. Тогда $g$ дифференцируема в $0$ и $g^{\prime }(0)=0$, но $g^{\prime }$ не является непрерывной в $0$ (для $x\ne 0$ $g^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$, последний член колеблется).
- $h(x)=x^2\sin \frac{1}{x^2}$ при $x\ne 0$, $h(0)=0$. Здесь $h^{\prime }(0)=0$, но $h^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$ неограничена при $x\to 0$. Это показывает: дифференцируемость в точке не гарантирует локальной ограниченности производной.
- В качестве крайнего примера: существуют функции, непрерывные всюду и нигде не дифференцируемые (например, функция Вейерштрасса) — демонстрирует, что непрерывность вообще не влечёт дифференцируемости.
Краткий итог:
- $f$ непрерывна в $0$.
- $f$ не дифференцируема в $0$.
- Для $x\ne 0$ $f^{\prime }(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}$, производная неограничена при $x\to 0$.