Недостаток доказательства: из ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$ нельзя заключать, что $f(x)>0$ для всех $x\in [a,b]$. Интеграл даёт информацию о «суме» значений, но функция может быть положительной лишь на части отрезка и нулевой или отрицательной на остальном множестве.
Контрпример (прост): пусть для некоторого $\epsilon >0$ $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in [a,a+\epsilon ],\\ 0,& x\in (a+\epsilon ,b].\end{array}$$ Тогда ${\int }_a^{b}f(x)dx=\epsilon >0$, но $f(x)=0$ на части отрезка, а не $f(x)>0$ везде.
Правильные утверждения:
1) Для непрерывной функции: если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и
$${\int }_a^{b}f(x)dx>0,$$ то существует точка $c\in [a,b]$ и число $\delta >0$ такие, что $f(x)>0$ для всех $x$ из $(c-\delta ,c+\delta )\cap [a,b]$. (Обоснование: если бы $f\le 0$ на всём отрезке, интеграл был бы $\le 0$; значит есть точка с $f(c)>0$, а по непрерывности вокруг $c$ значения остаются положительными.)
2) Для интегрируемой функции (Римана или Лебега): если ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$, то множество
$$\{x\in [a,b]:f(x)>0\}$$ имеет положительную меру и, следовательно, непусто (существуют точки с $f(x)>0$). Однако при отсутствии непрерывности нельзя гарантировать, что $f$ положительна на каком‑нибудь интервале. Контрпример: характеристическая функция «толстого» (fat) Канторова множества $C$ с положительной мерой,
$$f=1_C,$$ имеет положительный интеграл, но не положительна на никаком непустом интервале (поскольку $C$ не содержит интервалов).
Итого: из ${\int }_a^{b}f>0$ можно вывести существование точек (и для непрерывных — интервала) с $f>0$, но не $f>0$ на всём $[a,b]$.