Классическая формулировка (коротко)
- Есть 3 двери, за одной — машина, за двумя — козы. Вы выбираете одну дверь. Ведущий, знающий, где машина, открывает одну из оставшихся дверей, обязательно показывая козу, и предлагает вам либо остаться при первом выборе, либо переключиться на единственную оставшуюся закрытую дверь. В этой постановке переключение выигрывает с вероятностью $P(\text{switch win})=2/3$, а оставание — с $P(\text{stay win})=1/3$. Краткое обоснование: начальный выбор угадывает машину с вероятностью $1/3$; если он ошибочен (вероятность $2/3$), ведущий вынужден открыть козу, и переключение приводит к машине.
Варианты формулировок и как они влияют на ответ
1) Ведущий открывает случайную из двух остальных дверей (может открыть машину); вам говорят, что открытая дверь оказалась козой.
- Результат: при таком протоколе выигрыш при переключении равен $1/2$.
- Калькуляция: шанс событий до условия — машина за вашей дверью $1/3$, за каждой другой по $1/3$. Вероятность, что ведущий открыл козу: $$P(E)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}.$$ Тогда $P(\text{ваш выбор — машина}\mid E)=\frac{1/3}{2/3}=1/2$, значит оставаться и переключаться симметрично.
2) Общее число дверей $n$, ведущий открывает $n-2$ дверей, все с козами, оставляя одну другую закрытую.
- Результат: переключение выигрывает с вероятностью $\frac{n-1}{n}$.
- Обоснование: изначальная вероятность того, что вы выбрали машину, $1/n$; если вы ошиблись ($(n-1)/n$), то после того как ведущий открыл все остальные козы, единственная оставшаяся закрытая содержит машину.
3) Общий случай: $n$ дверей, ведущий открывает $k$ дверей (все козы), оставляя $n-k$ закрытыми (включая ваш выбор). Вы переключаетесь на одну из оставшихся $n-k-1$ дверей случайно.
- Результат: $$P(\text{switch win})=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n-k-1}.$$
- Комментарий: если $k=n-2$ это возвращает вариант 2.
4) Ведущий действует стратегически (не «всегда открывает козу»): например, он открывает дверь только тогда, когда ваш первоначальный выбор ошибочен.
- Результат: если предложение переключиться даётся ровно в тех случаях, когда вы ошиблись, то переключение выигрывает с вероятностью $1$.
- Вывод: знание правил поведения ведущего кардинально меняет апостериорные вероятности.
5) Неоднозначность в условии: формулировки «ведущий открыл козу» и «ведущий открыл дверь и это оказалась коза» различаются.
- Разница: в первом варианте подразумевается, что ведущий гарантированно откроет козу по правилам; во втором — событие фильтрует исходы (ведущий мог открыть машину, но в данном прогоне открыл козу). Эти ситуации дают разные апостериорные распределения и разные шансы для переключения (см. пункт 1).
6) Вариант, где ведущий выбирает, какую козу открыть, по неравномерному правилу (например, предпочитает одну из дверей).
- Результат: нужно знать вероятности выбора ведущего, иначе задача не имеет однозначного числового ответа; итоговые вероятности вычисляются через формулу Байеса с учетом правил выбора ведущего.
Рекомендация для обсуждения/формулировки задач
- Всегда явно указывать протокол ведущего: (а) открывает ли он дверь всегда; (б) может ли он открыть машину; (в) как он выбирает, если есть два возможных козы (равновероятно или по какому-то правилу); (г) когда он предлагает переключение (всегда или лишь в некоторых случаях).
- При неоднозначности формулировать несколько сценариев и вычислять условные вероятности через формулу Байеса.
Короткая сводка: при строго заданном правиле «ведущий всегда открывает козу» переключение выгодно ($2/3$ для $n=3$, $(n-1)/n$ для общего $n$). При изменении правил (случайный открывающий, нестандартный выбор ведущего, условие «открытая дверь оказалась козой») ответ может измениться до $1/2$, $1$ или других значений — поэтому ключ к решению: точно описать поведение ведущего и событие, о котором сообщили.