Рассмотрим измеримое пространство $(X,\mathcal{M},\mu )$. Основные достаточные условия для переноса предела через интеграл и краткие контрпримеры.
Утверждения (достаточные условия)
1) Лебегова теорема о доминировании (Dominated Convergence Theorem, DCT):
Если $f_n$ измеримы, $f_n\to f$ почти всюду и существует интегрируемая функция $g$ такая, что $|f_n|\le g$ почти везде для всех $n$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$$
2) Теорема о монотонной сходимости (Monotone Convergence Theorem, MCT):
Если $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ и $f_n\uparrow f$ почти всюду, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$$
3) Ограниченная сходимость (в случае конечной меры):
Если $\mu (X)<\infty$, $f_n\to f$ почти всюду и $|f_n|\le M$ для всех $n$ (константа $M$), то можно применить DCT с $g\equiv M$ и получить перенос предела.
4) Риман: на отрезке $[a,b]$ достаточно равномерной сходимости:
если $f_n$ интегрируемы (или непрерывны) и $f_n\to f$ равномерно на $[a,b]$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx.$$
5) Критерий через $L^1$-сходимость и равномерную интегрируемость:
- Если $f_n\to f$ в $L^1$, то $\int f_n\to \int f$.
- Более общо: при сходимости в мере достаточно равномерной интегрируемости (Vitali): если $f_n\to f$ в мере и семейство $\{f_n\}$ равномерно интегрируемо, то $\int f_n\to \int f$. Равномерная интегрируемость формально:
$$\underset{K\to \infty }{\lim }\underset{n}{\sup }{\int }_{|f_n|>K}|f_n|d\mu =0.$$
Классические контрпримеры при ослаблении условий
A) Отсутствие доминирующей интегрируемой функции (точечная, но не доминированная сходимость):
На $[0,1]$ с мерой Лебега положим
$$f_n(x)=n{1}_{[0,1/n]}(x).$$ Тогда $f_n(x)\to 0$ при всех $x>0$ (то есть $f_n\to 0$ почти всюду), но
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx=1\forall n,$$ поэтому $\lim \int f_n=1\ne 0=\int 0$. Нет интегрируемого доминанта, MCT не применима.
B) Необходимость конечной меры для «ограниченной сходимости»:
На $\mathbb{R}$ возьмём
$$f_n=1_{[n,n+1]}.$$ Тогда $f_n\to 0$ при каждом фиксированном $x$, и $|f_n|\le 1$, но
$${\int }_{\mathbb{R}}{f}_{n}dx=1\nrightarrow 0.$$ Показывает, что условие $\mu (X)<\infty$ (или доминант) нужно.
C) Для римановой интегральности: отсутствие равномерной сходимости ломает перенос предела:
Тот же пример A на $[0,1]$ показывает, что последовательность риманово интегрируемых функций, сходящаяся лишь поточечно, может иметь несходящийся предел интегралов.
D) Убегание массы (неравномерная интегрируемость):
Последовательность с «переносом массы» на бесконечность демонстрирует, что даже при сходимости в мере нужно условие равномерной интегрируемости. Примеры типа $f_n=n{1}_{[0,1/n]}$ или сдвинутых индикаторов дают контрпримеры.
Замечание о необходимых и достаточных условиях:
- DCT и MCT дают простые достаточные условия. Для общих критериев при сходимости в мере точное условие для переноса предела — равномерная интегрируемость (Vitali): она и достаточна, и в некотором смысле необходима для последовательностей, у которых интегралы должны совпасть с интегралом предела.
Вывод (кратко): в большинстве задач достаточно либо монотонности (MCT), либо наличия интегрируемого доминанта (DCT). При отказе от этих условий приводятся стандартные «spike» и «shifting mass» контрпримеры, демонстрирующие, что простая точечная сходимость или простая ограниченность сами по себе недостаточны.