Краткая формулировка: если $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ непрерывна и инъективна, то $f^{-1}:f([a,b])\to [a,b]$ существует и непрерывна. Разберём недостающие детали и обоснуем каждое требование.
1) Инъективность + непрерывность ⇒ строгая монотонность.
- Допустим противное: существует $x<y<z$ с либо $f(x)<f(y)>f(z)$, либо $f(x)>f(y)<f(z)$. Рассмотрим первый случай. По теореме о промежуточных значениях на отрезке $[x,y]$ функция принимает все значения между $f(x)$ и $f(y)$. Так как $f(z)\in (f(x),f(y))$, найдётся $t\in (x,y)$ с $f(t)=f(z)$, что противоречит инъективности. Аналогично для второго случая. Значит $f$ строго монотонна на $[a,b]$.
2) Образ $f([a,b])$ — отрезок (интервал) и компакт.
- Непрерывный образ связного множества связан; $[a,b]$ связен, значит $f([a,b])$ — интервал. Поскольку $[a,b]$ компактен и $f$ непрерывна, $f([a,b])$ компактен в $\mathbb{R}$, т.е. замкнут и ограничен. Это важно для свойств области определения обратной.
3) Существование обратной.
- Инъективность даёт биекцию между $[a,b]$ и $f([a,b])$, поэтому $f^{-1}:f([a,b])\to [a,b]$ корректно определена.
4) Непрерывность обратной (доказательство через компактность и последовательности).
- Возьмём $y_0\in f([a,b])$ и последовательность $y_n\to y_0$ в $f([a,b])$. Пусть $x_n=f^{-1}(y_n)$ (т.е. $x_n\in [a,b]$). Так как $[a,b]$ компактен, из последовательности $(x_n)$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}\to x^{\ast }\in [a,b]$. Непрерывность $f$ даёт
$$f(x^{\ast })=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_{n_k}=y_0.$$ Инъективность $f$ даёт $x^{\ast }=f^{-1}(y_0)$. Значит любая сходящаяся подпоследовательность $(x_n)$ имеет предел $f^{-1}(y_0)$. Отсюда вся последовательность $x_n$ сходится к $f^{-1}(y_0)$, то есть $f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)$. Таким образом $f^{-1}$ непрерывна в $y_0$. Поскольку $y_0$ был произвольным, $f^{-1}$ непрерывна на всём $f([a,b])$.
(Альтернативно: можно использовать общий факт: непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом, т.е. обратная непрерывна.)
5) Обоснование каждого требования.
- Непрерывность $f$ нужна для применения теоремы о промежуточных значениях (чтобы вывести монотонность) и для того, чтобы при предельном переходе $f(x_{n_k})\to f(x^{\ast })$.
- Инъективность нужна, чтобы иметь обратную функцию и чтобы исключить равенство значений в доказательстве монотонности и в выводе $x^{\ast }=f^{-1}(y_0)$.
- Домейн $[a,b]$ компактный (и связный) — это удобно: связность даёт, что образ — интервал; компактность обеспечивает существование сходящейся подпоследовательности, что критично в приведённом доказательстве непрерывности обратной. На некомпактных интервалах доказательство можно сделать иначе (используя прямое построение через монотонность и непрерывность в внутренних точках и одностороннюю непрерывность на концах), но компактность упрощает аргумент.
Заключение: все используемые требования (непрерывность, инъективность, отрезок как область определения) имеют ключевую роль: они обеспечивают строгую монотонность, корректность обратной и возможность вывести её непрерывность (последовательностный/топологический аргумент).