Ошибка в том, что подставили $0$ сразу в первообразную, игнорируя, что интеграл на $[0,1]$ несобственный ( $\ln x$ не определена в $0$ ). Правильно: записать как предел.
1) По частям получаем первообразную $F(x)=x\ln x-x$.
2) Несобственный интеграл через предел:
$${\int }_0^1\ln xdx=\underset{a\to 0+}{\lim }{\int }_a^1\ln xdx=\underset{a\to 0+}{\lim }[F(1)-F(a)]=\underset{a\to 0+}{\lim }(-1-(a\ln a-a)).$$
3) Нужно вычислить ${\lim }_{a\to 0+}a\ln a$. Например, через правило Лопиталя:
$$a\ln a=\frac{\ln a}{1/a}\underset{a\to 0+}{}0,$$ потому что при дифференцировании $\frac{1/a}{-1/a^2}=-a\to 0$.
4) Следовательно ${\lim }_{a\to 0+}(a\ln a-a)=0$ и
$${\int }_0^1\ln xdx=-1.$$
Итог: ошибка — пропуск предела при подстановке в точку разрыва; нужно брать ${\lim }_{a\to 0+}$.