Ниже — набор заданий по собственным значениям и собственным векторам для матриц $3\times 3$, разделённых по уровням, с краткими указаниями и объяснениями целей.
Уровень A (начальный, вычислительная практика)
- Задание A1. Для матрицы A=(200030005)A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}A= 200 030 005 найдите собственные значения и собственные векторы.
Подсказка: для диагональной матрицы собственные значения — диагонали; собственные векторы — базисные векторы.
- Задание A2. Для верхнетреугольной матрицы B=(120034005)B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&4\\0&0&5\end{pmatrix}B= 100 230 045 найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы.
Цель: понять, что собственные значения равны диагональным элементам, но собственные векторы требуются решением $(B-\lambda I)v=0$.
- Задание A3. Для матрицы C=(0−10100002)C=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}C= 010 −100 002 найдите собственные значения над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.
Цель: увидеть комплексные сопряжённые корни для действительных матриц.
Уровень B (смешанный, неоднозначные кратности)
- Задание B1. Найдите собственные значения и собственные векторы для D=(210021003)D=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}D= 200 120 013 . Определите, диагонализируема ли $D$ над $\mathbb{C}$.
Подсказка: вычислите характеристический многочлен ${\chi }_D(\lambda )=\det (D-\lambda I)$, найдите алгебраические и геометрические кратности.
- Задание B2. Для E=(400040104)E=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\1&0&4\end{pmatrix}E= 401 040 004 найдите собственные подпространства и определите, когда алгебраическая кратность $4$ дает геометрическую кратность $1$ или $2$.
Цель: закрепить различие алгебраической и геометрической кратности.
Уровень C (применение и теория)
- Задание C1. Доказать, что если матрица $A$ имеет три попарно различных собственных значения в $\mathbb{C}$, то $A$ диагонализируема над $\mathbb{C}$.
Ключевая идея: для каждого корня характеристического многочлена существует одномерное собственное пространство, суммарно три ЛНЗ вектора.
- Задание C2. Пусть $A$ — действительная симметрическая матрица ($A=A^T$). Докажите, что $A$ ортогонально диагонализируема (спектральная теорема).
Направление: использовать ортогонализацию собственных векторов и действительные собственные значения.
- Задание C3. Исследуйте диагонализируемость матрицы по минимальному многочлену: покажите эквивалентность диагонализуемости тому, что минимальный многочлен распадается на попарно различные линейные множители.
Подсказка: свести к структуре жордановой нормальной формы.
Уровень D (углублённый, классификация и приложения)
- Задание D1. Классифицируйте все жордановы формы для матриц $3\times 3$ с характеристическим многочленом ${\lambda }^3$. Для каждой формы найдите возможные алгебраические и геометрические кратности.
Цель: понять все варианты (один блок размера 3, блоки $2+1$, три блока $1+1+1$).
- Задание D2. Пусть $A\in M_3(\mathbb{R})$. Доказать, что если у $A$ есть комплексное собственное значение $\alpha +i\beta$ ($\beta \ne 0$), то сопряжённое $\alpha -i\beta$ тоже — собственное. Проанализировать, когда такая матрица диагонализируема над $\mathbb{R}$.
Комментарий: над $\mathbb{R}$ они дают 2×2 ротационно-растяжимый блок.
- Задание D3 (приложение). Для матрицы $A$ найдите $e^{tA}$ через диагонализацию или жорданову форму; примените к системе ОДУ $\dot{x}=Ax$.
Цель: показать практическое применение собственных значений/векторов.
Задания уровня «контроль понимания» (короткие вопросы)
- Q1. Как проверить диагонализируемость $A$ вычислительно?
Кратко: найти характеристический многочлен ${\chi }_A(\lambda )$, для каждого собственного значения $\lambda$ найти размерность ядра $\dim \ker (A-\lambda I)$; $A$ диагонализируема $⟺$ сумма геометрических кратностей $=3$.
- Q2. Что говорит алгебраическая vs геометрическая кратность?
Короткая формулировка: алгебраическая — кратность корня ${\chi }_A$, геометрическая — размер собственного подпространства; всегда $\text{geom}\le \text{alg}$.
- Q3. Сформулируйте критерий через минимальный многочлен.
Критерий: $A$ диагонализируема над полем $F$ $⟺$ минимальный многочлен $m_A(\lambda )$ распадается на попарно простые линейные множители над $F$.
Краткие методические указания по решению вычислительных задач
- Вычисляйте ${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$.
- Находите корни (с учётом кратностей).
- Для каждого корня решайте $(A-\lambda I)v=0$ для базиса собственного подпространства.
- Для диагонализации убедитесь, что найдено три линейно независимых собственных вектора; иначе постройте жорданову нормальную форму (над $\mathbb{C}$).
Можно взять предложенные задания для домашней работы, контрольной и исследовательских работ; при проверке обращать внимание на вычисления характеристического многочлена, правильность базиса собственных векторов и проверку линейной независимости.