Коротко сначала о домене. Для неограниченных вещественных $x,y$ при $x+y=c$ максимум не существует (при $x\to \infty ,y=c-x\to -\infty$ сумма квадратов уходит в $\infty$). Обычно рассматривают задачу на $\{x,y\in \mathbb{R}\}$ (тогда ищем минимум) или при дополнителъном ограничении $x,y\ge 0$ (тогда есть и максимум).
1) Быстрое преобразование (завершение квадрата, даёт минимум и поведение):
$$x^2+y^2=2(x-\frac{c}{2}{)}^2+\frac{c^2}{2}.$$ Отсюда минимум $\frac{c^2}{2}$ при $x=y=\frac{c}{2}$; при неограниченных $x,y$ нет верхней границы. При дополнит. условии $x,y\ge 0$ максимум достигается на краю (например $x=c,y=0$) и равен $c^2$.
2) Подход через неравенство Коши (Cauchy–Schwarz):
$$(1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (x+y{)}^2\Rightarrow 2(x^2+y^2)\ge c^2,$$ то есть $x^2+y^2\ge \frac{c^2}{2}$. Равенство при $x=y=\frac{c}{2}$ — это минимум. Для случая $x,y\ge 0$ максимум можно получить из
$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=c^2-2xy,$$ и так как $xy\ge 0$, максимум $c^2$ при $xy=0$ (на границе).
3) Метод Лагранжа:
Пусть $f(x,y)=x^2+y^2$, ограничение $g(x,y)=x+y-c=0$. Лагранжиан
$$\mathcal{L}=x^2+y^2-\lambda (x+y-c).$$ Уравнения стационарности: $2x-\lambda =0,2y-\lambda =0,x+y=c$. Отсюда $x=y=\frac{c}{2}$ — единственная внутренняя критическая точка, дающая минимум $\frac{c^2}{2}$. Для поиска максимума нужно дополнительно проверять границы допустимой области (если они есть); если область неограничена — максимум отсутствует.
4) Сравнение подходов — преимущества и ограничения
- Неравенство Коши:
- Плюсы: быстро, элементарно даёт глобальную оценку и условие равенства; особенно удобно для симметричных квадратичных выражений.
- Минусы: даёт обычно лишь одностороннюю оценку (нижнюю или верхнюю границу), не показывает, откуда берётся экстремум при наличии границ; неявно не показывает, являются ли найденные точки внутренними или краевыми.
- Метод Лагранжа:
- Плюсы: систематический метод для поиска внутренних экстремумов при гладком ограничении; даёт необходимые условия и позволяет выявить стационарные точки.
- Минусы: требует дифференцируемости, даёт только кандидаты для экстремума — нужно дополнительно исследовать вторые производные или границу области; громоздкий для простых задач, где достаточно неравенств или завершения квадрата.
- Завершение квадрата / алгебра:
- Часто самое простое и наглядное для квадратичных форм: сразу показывает минимум и поведение закона при уходе на бесконечность; выигрывает по краткости.
Вывод: для данной задачи самый лёгкий путь — завершение квадрата или Cauchy для минимума; Lagrange оправдан, если задача сложнее (несколько ограничений, больше переменных), но требует проверки границ.