Утверждение ложно. Покажу, что у уравнения $x^5-5x+1=0$ ровно три действительных корня.
Сделаем обозначение $f(x)=x^5-5x+1$. Вычислим производную:
$f^{\prime }(x)=5x^4-5=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)$.
Отсюда монотонность:
- для $|x|>1$ имеем $x^4>1\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ — функция возрастает на $(-\infty ,-1)$ и на $(1,\infty )$;
- для $|x|<1$ имеем $x^4<1\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$ — функция убывает на $(-1,1)$.
Вычислим значения в критических точках и пределы:
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty ,f(-1)=(-1{)}^5-5(-1)+1=5,f(1)=1-5+1=-3,{\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty .$
По признаку промежуточного значения (IVT) и учитывая монотонность на указанных интервалах:
- на $(-\infty ,-1)$: $f(-\infty )=-\infty <f(-1)=5$ → ровно один корень в $(-\infty ,-1)$;
- на $(-1,1)$: $f(-1)=5>0>f(1)=-3$ и функция там убывает → ровно один корень в $(-1,1)$;
- на $(1,\infty )$: $f(1)=-3<f(+\infty )=+\infty$ и функция там возрастает → ровно один корень в $(1,\infty )$.
Таким образом всего три различных действительных корня. (Корни простые, поскольку $f^{\prime }(\xi )\ne 0$ для корней — единственные критические точки $\pm 1$ не являются корнями.)
Какие методы лучше всего: комбинация анализа знака производной (для разбиения на монотонные интервалы) плюс теорема о промежуточном значении — наиболее прямой и удобный путь. Второй производной можно уточнить характер экстремумов ($f^{\prime \prime }(x)=20x^3$: максимум в $-1$, минимум в $1$), но для подсчёта числа корней это не обязательно.