Процедуры (коротко и с формулами)
1) Простая выборочная медиана:
- Если $n$ нечётно: $\tilde{m}=X_{((n+1)/2)}$.
- Если $n$ чётно: $\tilde{m}=\frac{X_{(n/2)}+X_{(n/2+1)}}{2}$.
Почему: устойчивый ненормализованный оценщик центра, прост в вычислении.
2) Непараметрический доверительный интервал для медианы (распределение неизвестно):
- Пусть $X_{(1)}\le \cdots \le X_{(n)}$ — упорядоченные значения. Для уровня доверия $1-\alpha$ найдите индексы $r,s$ такие, что
$$P(\mathrm{Bin}(n,1/2)\le r-1)\le \alpha /2,P(\mathrm{Bin}(n,1/2)\ge s)\le \alpha /2.$$ Тогда распределённо-свободный ДИ для медианы: $[X_{(r)},X_{(s)}]$.
Почему: число наблюдений ≤ истинной медианы имеет биномиальное распределение с параметром $1/2$, это даёт точные (exact) интервалы даже при малых $n$.
3) Оценка Ходжеса–Лемана (robust + высокая эффективность при симметрии):
- Постройте все попарные средние $A_{ij}=(X_i+X_j)/2$ для $1\le i\le j\le n$. Оценка Ходжеса–Лемана $m_{HL}$ — медиана множества $\{A_{ij}\}$.
Почему: более высокая эффективность по сравнению с обычной медианой при симметричных распределениях, при этом сохраняет хорошую устойчивость.
4) Harrell–Davis (малая дисперсия при гладких распределениях, но менее устойчива):
- Оценка: ${\hat{m}}_{HD}={\sum }_{i=1}^n{w}_i{X}_{(i)}$, где веса
$$w_i={\int }_{(i-1)/n}^{i/n}\mathrm{Beta}(t;a,b)dt,a=b=\frac{n+1}{2}.$$ Почему: даёт меньшую дисперсию для гладких симметричных распределений при малых $n$, но чувствительнее к выбросам (ниже устойчивость).
Критерий устойчивости — что выбирать и почему
- Развал (breakdown point). Определение: наименьшая доля «плохих» наблюдений, делающая оценку сколь угодно большой/плохой. Формально для оценивателя $T$ и размера выборки $n$ —
$${\epsilon }^{\ast }(T)=\min \{\epsilon :\underset{\text{замена}\epsilon n\text{точек}}{\sup }|T|=\infty \}.$$ Медиана имеет максимальный для одномерного случая ${\epsilon }^{\ast }\approx 0.5$ (высокая устойчивость). Оценки типа среднего имеют ${\epsilon }^{\ast }=0$ (очень неустойчивы).
- Функция влияния (influence function). Определение:
$$\mathrm{IF}(x;T,F)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{T((1-ϵ)F+ϵ{\Delta }_x)-T(F)}{ϵ}.$$ Хорошо, если $\mathrm{IF}$ ограничена — оценка не чувствительна к единичным выбросам. У медианы $\mathrm{IF}$ ограничена; у среднего — неограничена.
- Практическая рекомендация при неизвестном распределении и малом $n$:
- Если требуется максимальная робастность против выбросов и нет уверенности в симметрии: используйте выборочную медиану + распределённо-свободный ДИ по биномиалу.
- Если ожидается симметричное/гладкое распределение и нужно снизить дисперсию при малом $n$: рассмотрите Ходжеса–Лемана (лучше по эффективности, при этом по-прежнему достаточно робастен).
- Если приоритет — минимальный MSE при гладкой плотности и допустима некоторая уязвимость к выбросам: Harrell–Davis (взвешенная по порядку оценка).
Краткая сводка: для универсального использования при неизвестном распределении и малом объёме предпочтительна выборочная медиана за счёт высокого breakdown point (≈$0.5$) и ограниченной функции влияния; при наличии дополнительной информации (симметрия, гладкость) можно перейти на Hodges–Lehmann или Harrell–Davis ради лучшей эффективности.