Логическая недочёт: из тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ (равенство значений в каждой точке) никак не следует непрерывность функций $\sin x$ и $\cos x$. Тождество даёт только алгебраическую связь между значениями функций в каждой точке, но не даёт информации о их поведении при приближении аргумента.
Контрпример (простое опровержение): положим
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q},\\ -1,& x\notin \mathbb{Q},\end{array}g(x)\equiv 0.$$ Тогда $f^2(x)+g^2(x)\equiv 1$ для всех $x$, но $f$ сильно разрывна. Значит из равенства $f^2+g^2\equiv 1$ нельзя вывести непрерывность компонентов.
Уточнение: чтобы сделать вывод о непрерывности, нужны дополнительные условия. Примеры достаточных условий для $\sin$ и $\cos$:
- $\sin$ и $\cos$ определены через степенные ряды
$$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!},$$ и ряды эти равномерно сходятся на компактах, следовательно функции непрерывны (даже аналитичны).
- или через экспоненту: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ и непрерывность $e^{ix}$ (как композиции непрерывных $e^z$ и $ix$) даёт непрерывность вещественной и мнимой частей.
- или если известно, что $f$ и $g$ — непрерывные (или аналитические, или решения ОДУ с заданными начальными условиями) и удовлетворяют $f^2+g^2\equiv 1$, то это совместимо с непрерывностью; но само тождество не гарантирует её.
Краткий вывод: нужно отличать точечные алгебраические тождества от свойств вида «непрерывность»; чтобы утверждать непрерывность, требуется дополнительная информация о том, как функции заданы или какие регулярности им предъявлены.