Кратко — идея и теоремы, потом пошаговая конструкция и тонкости.
Основные наблюдения (теоремы/приёмы)
- Центр окружности, касающейся двух параллельных прямых $L_1,L_2$, лежит на средней линии $m$ между ними и радиус равен половине расстояния между прямыми. Обозначим расстояние $d=\mathrm{dist}(L_1,L_2)$, тогда
$$r=\frac{d}{2}.$$ - Множество центров окружностей, проходящих через две точки $P,Q$, — это перпендикулярная биссектриса отрезка $PQ$ (локация точек, равновдалённых от $P$ и $Q$).
- Следствие: центр требуемой окружности должен лежать одновременно на средней линии $m$ и на перпендикулярной биссектрисе $b$. Поэтому центр — точка пересечения $C=m\cap b$, и дополнительно должна выполняться длина радиуса
$$CP=CQ=r.$$
Пошаговая конструкция (линейкой и циркулем)
1. Постройте расстояние между прямыми (перпендикуляром) и среднюю линию $m$. Вычислите/постройте $r=\frac{d}{2}$.
2. Постройте перпендикулярную биссектрису $b$ отрезка $PQ$.
3. Найдите пересечение $C=b\cap m$.
- Если пересечение существует и $CP=CQ=r$, то окружность с центром $C$ и радиусом $r$ — искомая.
- Если $CP\ne r$, то решения нет.
4. Особый (вырожденный) случай: если $b$ параллельна $m$.
- Если $b\ne m$ (параллельны, но не совпадают) — пересечения нет → решений нет.
- Если $b=m$ (совпадают) — любой центр на $m$ равноудален от $P$ и $Q$. Тогда решением будут точки пересечения $m$ с окружностью центра $P$ и радиуса $r$ (или центра $Q$, радиуса $r$); таких пересечений может быть $0,1$ или $2$.
Дополнительные замечания и тонкости
- Условие «точки между прямыми» нужно: иначе центр не лежит между прямыми и конструкция неприменима.
- Обычно задача имеет либо одно решение, либо ни одного; только в вырожденном случае $b=m$ — до двух решений.
- Практически: нельзя «подогнать» радиус — он фиксирован $r=d/2$. Поэтому часто проще сначала проверить расстояние от $P$ или $Q$ до точки $C=m\cap b$: если оно не равно $r$, дальнейшие построения бесполезны.
- Альтернативные приёмы (редко нужны): отражение точек относительно средней линии или инверсия могут дать другие геометрические интерпретации, но обычная аргументация через среднюю линию и перпендикулярную биссектрису — наиболее прямолинейная и достаточная.