Исследуйте сходимость ряда sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n/(n^2 + 1) и обсудите несколько методов доказательства сходимости и вычисления суммы или её оценки
Исследуйте сходимость ряда sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n/(n^2 + 1) и обсудите несколько методов доказательства сходимости и вычисления суммы или её оценки
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
∑n=1∞(−1)n−1nn2+1≈0.27219826. \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+1}\approx 0.27219826. n=1∑∞ (−1)n−1n2+1n ≈0.27219826.
Доказательства и пояснения.
1) Лейбниц (чередующийся ряд). Пусть an=nn2+1>0a_n=\dfrac{n}{n^2+1}>0an =n2+1n >0. Тогда limn→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0limn→∞ an =0 и функция f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}f(x)=x2+1x убывает при x>1x>1x>1 (производная f′(x)=1−x2(x2+1)2≤0\,f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\le0f′(x)=(x2+1)21−x2 ≤0 при x≥1x\ge1x≥1), значит последовательность (an)(a_n)(an ) убывающая начиная с некоторого nnn. По признаку Лейбница ряд
∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_nn=1∑∞ (−1)n−1an сходится. Оценка остатка: при частичной сумме SNS_NSN справедливо
∣S−SN∣≤aN+1=N+1(N+1)2+1.\displaystyle |S-S_N|\le a_{N+1}=\frac{N+1}{(N+1)^2+1}.∣S−SN ∣≤aN+1 =(N+1)2+1N+1 .
2) Расходимость по абсолютной величине. Так как an∼1/na_n\sim 1/nan ∼1/n, то
∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_nn=1∑∞ an ведёт себя как гармонический ряд и расходится; следовательно исходный ряд сходится условно, но не абсолютно.
3) Другие методы доказательства сходимости. Можно применить:
- признак Дирихле / преобразование Абеля (суммирование по частям): последовательность частичных сумм знаков (−1)n−1(-1)^{n-1}(−1)n−1 ограничена, а ana_nan монотонно убывает к нулю — это даёт то же условное сходство;
- сравнение со знакоперемленными интегралами (интегральные оценки парных сумм).
4) Вычисление суммы (аналитические методы). Для явного выражения удобно представить
nn2+1=12(1n−i+1n+i)\displaystyle \frac{n}{n^2+1}=\frac12\Big(\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i}\Big)n2+1n =21 (n−i1 +n+i1 ) и свести сумму к суммам вида ∑(−1)n−1/(n+z)\sum(-1)^{n-1}/(n+z)∑(−1)n−1/(n+z), которые выражаются через дигамма‑функцию ψ\psiψ. В частности один получает
∑n=1∞(−1)n−1nn2+1=14(ψ (i2)+ψ (−i2)−ψ (1+i2)−ψ (1−i2)), \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+1}
=\frac14\Big(\psi\!\big(\tfrac{i}{2}\big)+\psi\!\big(-\tfrac{i}{2}\big)-\psi\!\big(\tfrac{1+i}{2}\big)-\psi\!\big(\tfrac{1-i}{2}\big)\Big),
n=1∑∞ (−1)n−1n2+1n =41 (ψ(2i )+ψ(−2i )−ψ(21+i )−ψ(21−i )), что равносильно выражению суммы через элементарные гиперболические/тригонометрические функции после использования тождеств для ψ\psiψ. Этот подход даёт и точное аналитическое значение в терминах специальных функций; численно он даёт указанное выше значение ≈0.27219826 \approx0.27219826≈0.27219826.
5) Численная оценка и остаток. Для заданной точности ε достаточно взять NNN с aN+1≤εa_{N+1}\le\varepsilonaN+1 ≤ε. Например для оценки до 10−410^{-4}10−4 нужно aN+1≤10−4a_{N+1}\le10^{-4}aN+1 ≤10−4, то есть примерно N≳104N\gtrsim10^4N≳104. На практике быстрые методы ускорения сходимости (Эйлерово преобразование, сумма по парам, преобразование Улама) позволяют получить нужную точность с гораздо меньшим числом членов.
Итого: ряд сходится условно (по Лейбницу/Абелю), не абсолютно; можно выразить сумму через дигамма‑функции (или получить численную величину ≈0.27219826) и контролировать погрешность остаточным членом Лейбница.