Решение. Точки разбиения: $x=1$ и $x=-\frac{3}{2}$. Рассмотрим три интервала.
1) $x\le -\frac{3}{2}$. Тогда $|x-1|=1-x,|2x+3|=-2x-3$. Получаем
$$1-x-2x-3=-3x-2=7⟹x=-3,$$ и $x=-3$ удовлетворяет условию $x\le -\frac{3}{2}$.
2) $-\frac{3}{2}<x\le 1$. Тогда $|x-1|=1-x,|2x+3|=2x+3$. Получаем
$$1-x+2x+3=x+4=7⟹x=3,$$ но $x=3\notin (-\frac{3}{2},1]$, значит решений в этом интервале нет.
3) $x>1$. Тогда $|x-1|=x-1,|2x+3|=2x+3$. Получаем
$$x-1+2x+3=3x+2=7⟹x=\frac{5}{3},$$ и $\frac{5}{3}>1$, значит это решение годится.
Итог: решения $x=-3$ и $x=\frac{5}{3}$.
Почему возведение в квадрат опасно. В общем случае из $A=B$ следует $A^2=B^2$, но обратное неверно: $A^2=B^2$ допускает и случай $A=-B$. При работе с модулем при возведении в квадрат при разложении появляется член $2|a||b|$; если по невнимательности заменить его на $2ab$, вы тем самым предполагаете, что $ab\ge 0$ (т.е. числа имеют один знак). Это может привести к появлению посторонних решений или к потере тех, для которых знак другой. Поэтому после любых алгебраических преобразований с возведением в квадрат нужно проверять все полученные корни в исходном уравнении. Простой контрпример общего рода: $\sqrt{x}=-2$ при возведении в квадрат даст $x=4$, но в исходном уравнении нет решений.