Коротко: это длина суммы двух векторов (закон косинусов). Лучшие упрощения, приближения и приёмы численной устойчивости:
1) Геометрическая интерпретация (закон косинусов, длина суммы):
$$d=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \theta }$$ — это длина вектора $u+v$, если $|u|=a,|v|=b$ и угол между ними $\theta$.
2) Полезные алгебраические представления (выбирать в зависимости от $\theta$):
$$d=\sqrt{(a+b{)}^2-2ab(1-\cos \theta )}\text{и}d=\sqrt{(a-b{)}^2+2ab(1+\cos \theta )}.$$ Первое удобно при $\theta \approx 0$ (малое вычитание из $(a+b{)}^2$), второе — при $\theta \approx \pi$ (малое добавление к $(a-b{)}^2$).
3) Малые отклонения (разложения):
- Для $\theta$ малого ($\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$, $\epsilon =ab{\theta }^2$):
$$d=\sqrt{(a+b{)}^2-\epsilon }\approx (a+b)-\frac{\epsilon }{2(a+b)}=(a+b)-\frac{ab{\theta }^2}{2(a+b)}+O({\theta }^4).$$ - Для $\theta =\pi -\phi$ с малым $\phi$ ($\cos \theta \approx -1+{\phi }^2/2$):
$$d\approx |a-b|+\frac{ab{\phi }^2}{2|a-b|}+O({\phi }^4).$$
4) Численная устойчивость (рекомендации):
- Вычислять как длину вектора через hypot, это обычно наиболее устойчиво:
$$d=\mathrm{hypot}(a+b\cos \theta ,b\sin \theta )=\sqrt{(a+b\cos \theta {)}^2+(b\sin \theta {)}^2}.$$ - При желании точно вычислить малую разность $s-d$ (где $s=a+b$ и $d=\sqrt{s^2-\epsilon }$) пользуйтесь формулой
$$s-d=\frac{\epsilon }{s+d},$$ чтобы избежать потери значащих цифр (аналогично при $\theta \approx \pi$ с $s^{\prime }=|a-b|$ и ${\epsilon }^{\prime }=2ab(1+\cos \theta )$).
Вывод: в геометрии используйте закон косинусов/интерпретацию как длину суммы векторов; для аналитических приближений — разложения при малых $\theta$ или при $\theta$ около $\pi$; для численных вычислений — формулы с $(a\pm b{)}^2$ в правильной форме и реализацию через $\mathrm{hypot}$ или приведённую формулу для избежания вычитания близких величин.