Ошибка: из равенства односторонних пределов не следует, что их общее значение равно значению функции в этой точке. Нужна ещё проверка совпадения с $f(x)$.
Контрпример: положим
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0,\\ 1,& x=0.\end{array}$$ Тогда для любого $x$ имеют место одинаковые односторонние пределы: ${\lim }_{t\to x+}f(t)={\lim }_{t\to x-}f(t)=0$ (включая $x=0$), но $f(0)=1\ne 0$. Следовательно функция разрывна в $0$, хотя $f(x+)=f(x-)$ для всех $x$.
Исправленная формулировка: функция $f$ непрерывна в точке $x$ тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы и
$$f(x+)=f(x-)=f(x).$$ Или эквивалентно: если для всех $x$ выполнено ${\lim }_{t\to x}f(t)=f(x)$.