Кратко: площадь треугольника через точку $P$ выражается через расстояния $r_1=PA,r_2=PB,r_3=PC$ и углы при $P$ между соответствующими лучами ${\phi }_1=\angle BPC,{\phi }_2=\angle CPA,{\phi }_3=\angle APB$ ( ${\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3=2\pi$ ) как
$$S(ABC)=S(PAB)+S(PBC)+S(PCA)=\frac{1}{2}(r_1{r}_2\sin {\phi }_3+r_2{r}_3\sin {\phi }_1+r_3{r}_1\sin {\phi }_2).$$ При фиксированном произведении расстояний
$$r_1{r}_2{r}_3=K(\text{фикс.})$$ поведение площади определяется двумя наборами параметров: сами радиусы $r_i$ и углы ${\phi }_i$. Выводы и методы анализа:
1) Общие границы.
- Нет верхней границы: можно взять, например, $r_3\to 0$ и углы так, чтобы $\sin {\phi }_3$ остаётся положительным (например ${\phi }_3\approx \pi /2$); тогда первый член $\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin {\phi }_3=\frac{1}{2}\frac{K}{r_3}\sin {\phi }_3\to \infty$. Следовательно $\sup S=+\infty$.
- Инфимум нулевой: выбрав равные радиусы $r_i=K^{1/3}$ и углы вида ${\phi }_1={\phi }_2=\pi -\epsilon ,{\phi }_3=2\epsilon$ с $\epsilon \to 0+$, получаем
$$S=\frac{1}{2}{r}^2(2\sin \epsilon +\sin 2\epsilon )\to 0.$$ Значит $\inf S=0$. Итого глобально площадь может быть сколь угодно большой и сколь угодно близкой к нулю.
2) Стационарная (симметрическая) конфигурация.
При применении метода множителей Лагранжа к функции $S$ при условии $r_1{r}_2{r}_3=K$ и ${\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3=2\pi$ естественной стационарной точкой является симметричный вариант
$$r_1=r_2=r_3=K^{1/3},{\phi }_1={\phi }_2={\phi }_3=\frac{2\pi }{3},$$ дающий значение
$$S_{\text{sym}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{K}^{2/3}.$$ Это важная контрольная конфигурация (симметрическая стационарная точка), которую имеет смысл исследовать дальше (локальный экстремум по симметрии).
3) Методы анализа, которые практично применять:
- Аналитика через радиусы и углы (как выше): работать с выражением
$S=\frac{1}{2}\sum r_i{r}_{i+1}\sin {\phi }_{i+2}$ и условием $r_1{r}_2{r}_3=K,\sum {\phi }_i=2\pi .$ - Метод множителей Лагранжа для поиска стационарных конфигураций и проверки их типа (матрица вторых производных, симметричные варианты).
- Параметризация через полярные/комплексные координаты с центром в $P$: $A=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ и т.п., затем численная оптимизация (если требуется исследовать конкретные подзадачи).
- Конструктивные примеры (асимптотики) для доказательства неограниченности сверху и достижения малых значений площади (см. пункты 1 и 2).
- Использование неравенств (AM–GM, неравенство Гельдера) для оценок при дополнительных ограничениях (например, если дополнительно ограничены углы или максимально допустимые расстояния).
4) Практический вывод.
При только одном условии $PA\cdot PB\cdot PC=$ const не существует конечной максимальной или положительной минимальной площади: $\inf S=0,\sup S=+\infty$. Информацию о возможных экстремумах и типичных конфигурациях даёт исследование стационарной симметричной точки $r_i=K^{1/3},{\phi }_i=2\pi /3$ и дальнейший анализ с помощью Лагранжа или численных методов при введении дополнительных ограничений (фиксированные углы, ограничение на радиусы и т.п.).
Если нужно, могу записать полный вывод через множители Лагранжа или привести конкретные численные примеры/постройки для демонстрации описанных пределов.