Коротко: примените выпрямление (Tschirnhaus), затем метод Феррари (резольвентный куб), или — для строгих неравенств — последовательность Штурма / критерий Герміта; дополнительно используйте свойства производной (Ролль). Объяснение и почему простые подходы ошибочны — ниже.
1) Выпрямление (удаление кубического члена). Подставьте
$$x=y-\frac{a}{4},$$ получите приведённый (депрессированный) многочлен
$$Q(y)=y^4+p{y}^2+qy+r,$$ где $p,q,r$ — выражения через $a,b,c,d$. Это упрощает дальнейшие преобразования (симметрия).
2) Метод Феррари / резольвентный куб. Для депрессированного вида ищут разложение на два квадратных множителя
$$y^4+p{y}^2+qy+r=(y^2+uy+v)(y^2-uy+w).$$ Сравнивая коэффициенты получают систему
$$v+w-u^2=p,u(w-v)=q,vw=r,$$ от которой исключением $v,w$ получается резольвентный кубический уравнение (например, для $z=w-v$):
$$z^3+2p{z}^2+(p^2-4r)z-q^2=0.$$ Найденный действительный корень $z$ даёт $u=q/z$ и затем $v,w$. Если удаётся найти действительные $u,v,w$ и оба квадратичных множителя имеют неотрицательные дискриминанты, то исходный многочлен раскладывается на два квадрата с действительными корнями ⇒ все четыре корня действительны.
3) Критерий через производную (необходимое и удобное условие). По Роллю, чтобы четвёртый степенный многочлен имел четыре разные действительные корня, его производная
$$P^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+2bx+c$$ должна иметь три действительных корня (т.е. соответствующий кубик должен иметь положительный дискриминант). Более того, значения $P$ в критических точках должны чередоваться по знаку, чтобы график пересекал ось абсцисс четыре раза. Это даёт практический тест: дискриминант $P^{\prime }>0$ и проверка знаков $P$ в трёх критических точках.
4) Струм / точный счёт корней. Для жёстких строгих условий (не решая явно резольвент) можно построить последовательность Штурма для $P(x)$ и по количеству смен знаков на $-\infty$ и $+\infty$ получить точное число действительных корней в терминах неравенств на коэффициенты. Это даёт исчерпывающие критерии, но приводит к громоздким неравенствам.
5) Альтернативные алгебраические критерии. Существуют критерии через матрицы Герміта/Сильвестра (матрица моментов / Граммова/Hankel), их знаки главных миноров дают условие «все корни действительны». Это удобно теоретически, но на практике вычислительно тяжело.
Почему простые подходы могут ошибаться:
- Дискриминант $\Delta$ сам по себе не даёт однозначного ответа: для многочлена четвёртой степени $\Delta >0$ может соответствовать и четырём действительным корням, и нулю действительных (две пары комплексно-сопряжённых). Следовательно, требование $\Delta >0$ недостаточно.
- Правило знаков Декарта даёт только верхнюю оценку числа положительных корней и не определяет отрицательные; оно малоинформативно для полного условия.
- Проверка отрицательности/положительности некоторых коэффициентов или главных миноров без учёта экстремумов и структуры корней даёт ложные выводы.
- Численные проверки дискриминанта/неравенств при приближённых значениях параметров могут неверно интерпретировать случаи с близкими или кратными корнями (чувствительность к погрешностям).
Резюме рекомендованной схемы:
- Сдвиг $x=y-a/4$ → депрессированный вид.
- Решить резольвентный куб (метод Феррари) и проверить, даёт ли он действительную факторизацию на квадраты с неотрицательными дискриминантами; либо
- Проверить дискриминант производной (должен быть >0) и знаки $P$ в критических точках; при необходимости подтвердить подсчётом по Штурму для строгого доказательства.