Рассмотрим делимость по модулю $n+1$. Так как $n\equiv -1(\mathrm{mod}n+1)$, получаем
$$n^2+1\equiv (-1{)}^2+1=2(\mathrm{mod}n+1).$$ Значит $n+1$ делит $2$. Для положительных целых $n$ возможны лишь $n+1=1$ (даёт $n=0$, не подходит) или $n+1=2$, то есть $n=1$. Проверка: $1^2+1=2$ делится на $1+1=2$.
Ответ: единственный положительный $n$ — $n=1$.