Коротко — условия и пример.
Условия (достаточные и стандартные)
- Ненегативные члены: если $a_{mn}\ge 0$ для всех $m,n$, то предел частичных сумм по прямоугольникам существует и не зависит от способа обхода индексов (Tonelli):
$$\sum _{m,n}{a}_{mn}=\underset{M,N\to \infty }{\lim }\sum _{m=1}^M\sum _{n=1}^N{a}_{mn}.$$ - Абсолютная сходимость: если
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{mn}|<\infty ,$$
то можно менять порядок суммирования и любые перестановки членов не меняют сумму (Fubini для рядов):
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{mn}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{a}_{mn}=\sum _{m,n}{a}_{mn}.$$ - Частный случай: достаточно, чтобы одна из итерационных сумм была абсолютно сходящейся, т.е. если для каждого $m$ сумма ${\sum }_n{a}_{mn}$ существует и
$$\sum _m(\sum _n|a_{mn}|)<\infty ,$$
то итерационные суммы равны и равны общей сумме.
Краткое объяснение: при абсолютной сходимости хвосты по модулю малые, поэтому сумма по любому порядку совпадает (по критерию Коши и неравенству треугольника). Для неотрицательных членов можно применять теорему монотонной сходимости для сумм.
Пример, где перестановка меняет сумму
Зададим массив
$$a_{mn}=\{\begin{array}{ll}1,& n=m,\\ -1,& n=m+1,\\ 0,& \text{иначе}.\end{array}$$ Для фиксованного $m$ строковая сумма равна $1+(-1)=0$, поэтому суммирование сначала по $n$, затем по $m$ даёт
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{mn}=\sum _{m=1}^{\infty }0=0.$$ Для фиксованного $n$ столбцовая сумма: при $n=1$ единственный ненулевой член $a_{1,1}=1$, при $n\ge 2$ — ненулевые члены $a_{n-1,n}=-1$ и $a_{n,n}=1$ дают сумму $0$. Значит, суммирование сначала по $m$, затем по $n$ даёт
$$\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{a}_{mn}=1.$$ Итого итерационные суммы различаются (0 и 1). Абсолютная сумма расходится: ${\sum }_{m,n}|a_{mn}|=\infty$, поэтому условие абсолютной сходимости не выполнено, что согласуется с тем, что порядок суммирования влияет на результат.