Ошибка в том, что упущен модуль и не учтена область определения логарифма.
Анализ областей определения:
- $\ln (x^2)$ определён для всех $x$ таких, что $x^2>0$, т.е. для $x\ne 0$.
- $2\ln x$ определён только для $x>0$.
Поэтому тождество $\ln (x^2)=2\ln x$ справедливо не для всех $x$, а только для $x>0$.
Корректная формулировка и вывод:
$x^2=(|x|{)}^2$, значит
$$\ln (x^2)=\ln (|x{|}^2)=2\ln |x|$$ при всех $x\ne 0$. Пример ошибки: для $x=-1$ левая часть $\ln ((-1{)}^2)=\ln 1=0$, а правая $2\ln (-1)$ не определена в $\mathbb{R}$.