Вычислим квадрат нормы:
$$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2u\cdot v.$$ Так как $u\perp v$, то $u\cdot v=0$, значит
$$\Vert u+v{\Vert }^2=2^2+3^2=4+9=13,\Vert u+v\Vert =\sqrt{13}.$$
Все возможные значения длины — единственное значение $\sqrt{13}$. Экстремумы тривиальны: минимум и максимум совпадают и равны $\sqrt{13}$. Геометрически $u$ и $v$ являются катетами прямоугольного треугольника длиной $2$ и $3$, а $u+v$ — его гипотенуза длиной $\sqrt{13}$; любая конфигурация в пространстве с ортогональными векторами даёт тот же результат.