Краткий ответ:
- Для $p>1$ интеграл сходится абсолютно.
- Для $0<p\le 1$ интеграл сходится условно (не абсолютно).
- Для $p\le 0$ интеграл расходится.
Обоснование (сопряжённые теоремы и доказательства):
1) Абсолютная сходимость при $p>1$.
По признаку сравнения $|\sin x|\le 1$ и ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx<\infty$ при $p>1$, поэтому
∫1∞∣sin⁡xxp∣ dx≤∫1∞1xp dx<∞, \int_1^\infty \left|\frac{\sin x}{x^p}\right|\,dx \le \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx<\infty,
∫1∞ xpsinx dx≤∫1∞ xp1 dx<∞, значит интеграл сходится абсолютно.
2) Условная сходимость при $0<p\le 1$.
Применяем критерий Дирихле: пусть $f(x)=\sin x$, тогда первообразная
$$F(X)={\int }_1^X\sin tdt=1-\cos X$$ ограничена. Функция $g(x)=x^{-p}$ монотонно убывает и ${\lim }_{x\to \infty }g(x)=0$ при $p>0$. По критерию Дирихле интеграл
$${\int }_1^{\infty }\sin x{x}^{-p}dx$$ сходится. Он не является абсолютно сходящимся при $0<p\le 1$: выберем интервалы, где $\sin x\ge 1/2$, например для целых $n$ $$x\in [2\pi n+\frac{\pi }{6},2\pi n+\frac{5\pi }{6}]\Rightarrow \sin x\ge \frac{1}{2}.$$ Тогда
$${\int }_{2\pi n+\pi /6}^{2\pi n+5\pi /6}\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{3}\cdot \frac{1}{(Cn{)}^p}\sim \frac{\text{const}}{n^p},$$ и сумма таких вкладов расходится при $p\le 1$. Следовательно неабсолютная (условная) сходимость.
3) Расходимость при $p\le 0$.
Необходимое условие сходимости несобственного интеграла — стремление подынтегральной функции к нулю. При $p=0$ интеграл равен ${\int }_1^{\infty }\sin xdx$, у антидеривативы $-\cos x$ нет предела при $x\to \infty$, значит расходится. При $p<0$ модуль слагаемого $|\sin x|x^{-p}$ не убывает к нулю (на последовательности $x_n=2\pi n+\pi /2$ значение равно $x_n^{-p}\to \infty$), поэтому интеграл расходится очевидно.
Использованные теоремы: критерий сравнения (для абсолютной сходимости), критерий Дирихле (для условной сходимости при $0<p\le 1$), необходимое условие сходимости (подынтегральная функция должна стремиться к 0) для доказательства расходимости при $p\le 0$.