Даны числа a, b, c удовлетворяющие a + b + c = 0. Докажите или опровергните: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Разверните доказательство, укажите необходимые и достаточные условия
Даны числа a, b, c удовлетворяющие a + b + c = 0. Докажите или опровергните: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Разверните доказательство, укажите необходимые и достаточные условия
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Используем тождество
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca). a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\bigl(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\bigr).
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca). Если a+b+c=0 \;a+b+c=0\;a+b+c=0, то правая часть равна нулю, и поэтому
a3+b3+c3=3abc. a^3+b^3+c^3=3abc.
a3+b3+c3=3abc.
Необходимое и достаточное условие для равенства a3+b3+c3=3abc \;a^3+b^3+c^3=3abc\;a3+b3+c3=3abc следует из того же тождества: произведение равно нулю, значит либо
a+b+c=0, a+b+c=0,
a+b+c=0, либо
a2+b2+c2−ab−bc−ca=0. a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0.
a2+b2+c2−ab−bc−ca=0. Но
a2+b2+c2−ab−bc−ca=12((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2), a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\tfrac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr),
a2+b2+c2−ab−bc−ca=21 ((a−b)2+(b−c)2+(c−a)2), и это равно нулю тогда и только тогда, когда a=b=ca=b=ca=b=c. Таким образом
a3+b3+c3=3abc ⟺ (a+b+c=0) или (a=b=c). a^3+b^3+c^3=3abc\iff\bigl(a+b+c=0\bigr)\ \text{или}\ \bigl(a=b=c\bigr).
a3+b3+c3=3abc⟺(a+b+c=0) или (a=b=c).
(Тождество верно над любым коммутативным кольцом.)