Контрпример. Пусть $f(x)=x$, $g(x)=-x$, рассматриваем точку $x_0=0$. Тогда $f$ и $g$ дифференцируемы в $0$, но
$$\max (f,g)(x)=\max (x,-x)=|x|$$ не дифференцируема в $0$. Значит утверждение неверно.
Какие дополнительные условия обеспечат дифференцируемость
1) Тривиальное условие: если $f(x_0)\ne g(x_0)$, то ближайшей окрестности одна из функций строго больше другой, потому в некоторой окрестности $\max (f,g)$ совпадает с одной из них и потому дифференцируема в $x_0$.
2) Случай соприкосновения: если $f(x_0)=g(x_0)$, то необходимое и достаточное условие (в ${\mathbb{R}}^n$) для дифференцируемости $\max (f,g)$ в $x_0$ — равенство градиентов:
$$\nabla f(x_0)=\nabla g(x_0).$$ Доказательство (эскиз). Пусть $\varphi =f-g$. Если $\varphi (x_0)=0$ и $\nabla \varphi (x_0)=0$, то $\varphi (x)=o(\Vert x-x_0\Vert )$, поэтому
$$\max (f,g)=g+\max (\varphi ,0)$$ и $\max (\varphi ,0)=o(\Vert x-x_0\Vert )$, откуда $\max (f,g)$ дифференцируема с градиентом $\nabla g(x_0)=\nabla f(x_0)$. Обратно, если $\max (f,g)$ дифференцируема в точке соприкосновения, её градиент должен равняться и $\nabla f(x_0)$, и $\nabla g(x_0)$, поэтому эти градиенты совпадают.
Вывод: достаточно и нужно для дифференцируемости в точке $x_0$: либо $f(x_0)\ne g(x_0)$, либо $f(x_0)=g(x_0)$ и $\nabla f(x_0)=\nabla g(x_0)$. (В одномерном случае условие принимает вид $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$.)