Короткий разбор и ответы.
Примеры и простые наблюдения
- Небольшие значения: $1!+1=2$ — простое, $2!+1=3$ — простое, $3!+1=7$ — простое, $4!+1=25$ — составное, $5!+1=121$ — составное, $6!+1=721$ — составное и т.д. (поэтому первые очевидные решения: $n=1,2,3$).
- Для любого простого $p\le n$ имеет место $p\mid n!$, значит $n!+1\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Следовательно никакой простой делитель числа $n!+1$ не может быть $\le n$: все простые делители $>n$.
Релевантные теоремы и эвристики
1. Плотность простых (ПРТ): вероятность, что "случайное" число порядка $X$ простое, примерно $\sim 1/\log X$. Для $X\approx n!$ имеем $\log X\sim n\log n$, т.е. наивная вероятность простоты $\sim 1/(n\log n)$.
2. Мертенс (Mertens): $\prod _{p\le n}(1-\frac{1}{p})\sim \frac{e^{-\gamma }}{\log n}$. Это даёт вероятность того, что случайное число не делится ни на один простой $\le n$.
3. Комбинированная эвристика (условие "не делится на простые $\le n$" + вероятность простоты) даёт приближённую оценку вероятности того, что $n!+1$ просто:
$$\mathrm{Pr}(n!+1\text{простое})\approx \frac{1/\log (n!)}{{\prod }_{p\le n}(1-1/p)}\sim \frac{1/(n\log n)}{e^{-\gamma }/\log n}=\frac{e^{\gamma }}{n},$$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони. Это даёт порядок $c/n$ с константой $c=e^{\gamma }\approx 1.78$.
4. Вилсон: если $q$ — простое, то $(q-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}q)$. Это показывает, что для каждого простого $q$ число $(q-1)!+1$ делится на $q$, но не даёт сильного способа породить или исключить факториальные простые в общем.
Почему проблема трудна
- Зависимости дивизоров: эвристика использует независимость событий «делится на данный простой», но для конкретной структуры $n!+1$ такие независимости не доказаны; поведение делимости сильно коррелировано.
- Быстрый рост: $n!$ растёт очень быстро, поэтому простоту и факторизацию таких чисел проверять вычислительно всё труднее (хотя современные тесты простоты работают для очень больших чисел, но поиск «специальных» $n$ остаётся сложным).
- Отсутствие аналитических инструментов: нет известных методов, позволяющих контролировать наличие бесконечно многих (или конечности) простых в очень специальных последовательностях типа $n!+1$; это похоже на трудности в задачах о простых вида $f(n)$ для быстрорастущих $f$.
- Открытый статус: пока нет доказательства ни того, что таких $n$ бесконечно много, ни того, что их конечное число; эвристика $\sim e^{\gamma }/n$ предполагает дивергентную сумму вероятностей и поэтому ожидает бесконечно много, но это не является доказательством.
Короткий итог
- Из элементарного расчёта видно $n=1,2,3$ дают простые числа; начиная с $n=4$ встречаются составные.
- Основные инструменты для эвристики — теорема о плотности простых и формула Мертенса; они дают оценку порядка $\mathrm{Pr}(n!+1\text{простое})\sim e^{\gamma }/n$.
- Тем не менее задача строгого описания всех $n$ (и вопрос о бесконечности таких $n$) остаётся открытой из‑за зависимостей в делимости и неспособности текущих методов контролировать специальную арифметическую структуру $n!+1$.