Ниже — несколько практических способов вычислить площадь треугольника, если известна высота из вершины $A$ (обозначим её $h_a$), с формулами и кратким сравнением преимуществ/недостатков для численных вычислений.
1) Прямо по основанию $a=BC$:
- Формула: $S=\frac{1}{2}a{h}_a$.
- Плюсы: предельно просто и эффективно (одно умножение и деление), очень устойчива численно.
- Минусы: требует явного знания $a$.
2) По длинам двух прилежащих сторон $b=AC,c=AB$ и высоте $h_a$:
- Представление через проекции: $BD=\sqrt{c^2-h_a^2},DC=\sqrt{b^2-h_a^2}$, тогда $a=BD+DC$ и
$$S=\frac{1}{2}{h}_a(\sqrt{c^2-h_a^2}+\sqrt{b^2-h_a^2}).$$ - Плюсы: использует заданную высоту и две стороны.
- Минусы: корни с разностью почти равных чисел дают потерю точности, если $h_a$ близка к $b$ или $c$. Требуется проверять неотрицательность подкоренных выражений.
3) По трем сторонам (Heron) — если известны $a,b,c$ (включая вычисленный $a$):
- Формула: $p=\frac{a+b+c}{2},S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
- Плюсы: универсальна, не требует координат.
- Минусы: возможна потеря значимости при вытянутых/малых треугольниках; численно стабильнее предварительно нормировать стороны (делить на максимум) или использовать защищённую реализацию Heron (сортировать стороны и применять устойчивые перестановки).
4) По координатам вершин $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C)$ (эквивалентно векторному произведению):
- Формула (детерминант): S=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣S=\dfrac12\bigl|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\bigr|S=21 xA (yB −yC )+xB (yC −yA )+xC (yA −yB ) .
- В векторной форме: S=12∣AB⃗×AC⃗∣S=\dfrac12\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr|S=21 AB×AC .
- Плюсы: эффективна и обычно численно устойчива; легко реализуется в двойной точности.
- Минусы: возможна потеря точности при координатах большого порядка величин — улучшить устойчивость можно сдвигом всех точек на centroid или на первую вершину (вычитать $x_A,y_A$) перед вычислением.
5) По двум сторонам и углу между ними (если известны $b,c$ и угол $\alpha$ при $A$):
- Формула: $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$.
- Плюсы: простая и стабильная, если синус вычисляется точно.
- Минусы: вычисление $\alpha$ из сторон может давать неточности; для малых углов $\sin \alpha$ мал и чувствителен к относительной погрешности.
Дополнительные замечания по численной устойчивости:
- Всегда проверяйте масштаб величин: при очень больших/малых значениях сначала нормируйте (делите на разумный масштаб), вычислите площадь, затем восстановите масштаб.
- Избегайте вычитаний почти равных чисел (например, $c^2-h_a^2$ при $c\approx h_a$) — при необходимости используйте альтернативные выражения или формулы с предварительной нормировкой.
- Для координатных вычислений полезно сдвигать систему координат так, чтобы координаты были малы по модулю (уменьшает катастрофическое исключение при суммах/вычитаниях).
- При реализации Heron для лучшей устойчивости: сортируйте стороны по величине и применяйте алгоритмы, минимизирующие разницы (или используйте масштабирование).
Вывод: если известны $a$ и $h_a$ — используйте $S=\frac{1}{2}a{h}_a$ (самое простое и стабильное). При наличии координат — детерминант/векторное произведение. При данных только сторон — Heron с численной защитой. При данных двух сторон и угла — формула с $\sin$.