Кратко и по сути.
1) Характеристический многочлен и корни:
${\chi }_A(t)=t^2-(a+d)t+(ad-bc)$.
Собственные числа
${\lambda }_{1,2}=\frac{a+d\pm \sqrt{(a-d{)}^2+4bc}}{2}$.
Определитель подкоренного выражения (дискриминант)
$\Delta =(a-d{)}^2+4bc$.
2) Критерии диагонализируемости:
- Над $\mathbb{C}$: $A$ диагонализируема тогда и только тогда, когда либо $\Delta \ne 0$ (два различных собственных числа в $\mathbb{C}$), либо $\Delta =0$ и при этом $A=\lambda I$ (т.е. матрица уже скалярная). Эквивалентное условие: минимальный многочлен не имеет повторных линейных множителей (для 2×2 это либо $(t-{\lambda }_1)(t-{\lambda }_2)$ с ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, либо $(t-\lambda )$ при $A=\lambda I$).
- Над $\mathbb{R}$: необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа были вещественны и имелись два линейно независимых вещественных собственных вектора. В терминах $\Delta$:
- если $\Delta >0$ — два различных вещественных собственных числа → диагонализируема над $\mathbb{R}$;
- если $\Delta <0$ — комплексно-сопряжённые собственные числа → не диагонализируема над $\mathbb{R}$ (но диагонализируема над $\mathbb{C}$);
- если $\Delta =0$ (кратный корень $\lambda =\frac{a+d}{2}$) — диагонализируема над $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $A=\lambda I$; иначе (жорданова клетка) не диагонализируема.
3) Геометрический критерий:
Диагонализуемость ⇔ для каждого собственного значения алгебраическая кратность = геометрическая кратность. Для 2×2 это сводится к вышеописанным случаям: при различных собственных числах геометрические кратности равны 1 и векторы независимы; при кратном собственном числе геометрическая кратность равна 2 лишь если $A=\lambda I$.
4) Примеры:
- Два разных вещественных собственного числа: $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ имеет $\lambda =3,1$ → диагонализируема над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.
- Комплексные собственные числа: $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ имеет $\lambda =\pm i$ → не диагонализируема над $\mathbb{R}$, диагонализируема над $\mathbb{C}$.
- Кратный корень, диагонализируемая: $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I$ → диагонализируема.
- Кратный корень, не диагонализируемая (жорданова клетка): $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ → не диагонализируема (минимальный многочлен $(t-2{)}^2$).
Это всё необходимое для 2×2-случая.