Докажем двумя способами.
1) Через формулы сложения и двойного угла.
$$\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x.$$ Подставим $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:
$$\sin 3x=(2\sin x\cos x)\cos x+(1-2{\sin }^{2}x)\sin x=2\sin x{\cos }^{2}x+\sin x-2{\sin }^{3}x.$$ Так как ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, получаем
$$\sin 3x=2\sin x(1-{\sin }^{2}x)+\sin x-2{\sin }^{3}x=3\sin x-4{\sin }^{3}x.$$
2) Через комплексные числа (формула де Муавра).
По де Муавру
$$(\cos x+i\sin x{)}^3=\cos 3x+i\sin 3x.$$ Раскроем левую часть:
$$(\cos x+i\sin x{)}^3={\cos }^{3}x+3i{\cos }^{2}x\sin x-3\cos x{\sin }^{2}x-i{\sin }^{3}x.$$ Воображаемая часть даёт
$$\sin 3x=3{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{3}x=3(1-{\sin }^{2}x)\sin x-{\sin }^{3}x=3\sin x-4{\sin }^{3}x.$$
Когда какое представление удобнее:
- Полиномное представление $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ удобно при решении тригонометрических уравнений и при привидении степеней синуса (интегралы, приведение ${\sin }^n$ к линейной комбинации), а также в алгебраическом анализе (сведение к многочлену по $\sin x$).
- Представление через суммы/двойной угол (или через комплексные показатели) удобно при выводе общих формул для $n$-кратного угла, при преобразованиях смещённых аргументов и при работе с комплексными экспонентами (быстро обобщается и упрощает операции с суммами/произведениями).