Короткий ответ: вывод «если $x^2-5x+6\ge 0$, то $x\le 2$ или $x\ge 3$» корректен при решении неравенства в множестве действительных чисел и при условии, что мы правильно учли включение корней (здесь корни $2$ и $3$ дают равенство). Он может ввести в заблуждение, если подразумевается другая область (целые, комплексные числа) или если забыли случаи, когда дискриминант $\le 0$.
Разбор и общий алгоритм для квадратного неравенства $a{x}^2+bx+c\square 0$ ($\square$ = $>$, $\ge$, $<$, $\le$):
1. Привести к виду $a{x}^2+bx+c\square 0$. Если $a=0$ — перейти к линейному неравенству.
2. Найти дискриминант $D=b^2-4ac$.
3. Разделить на случаи:
- $D>0$. Корни разные: $x_1<x_2$.
- Если $a>0$ (парабола вверх), то знак $\ge 0$ вне корней: $x\le x_1$ или $x\ge x_2$ (для $>$ — строгие неравенства).
- Если $a<0$ (парабола вниз), то $\ge 0$ выполняется между корнями: $x_1\le x\le x_2$.
- $D=0$. Один (двойной) корень $x_0$.
- Если $a>0$, то $a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2\ge 0$ для всех $x$ (равно 0 только при $x=x_0$).
- Если $a<0$, то $a{x}^2+bx+c\le 0$ для всех $x$; для $\ge 0$ решением будет только $x=x_0$.
- $D<0$. Нет вещественных корней.
- Если $a>0$, выражение всегда $>0$ (значит $\ge 0$ — все $\mathbb{R}$).
- Если $a<0$, выражение всегда $<0$ (значит $\ge 0$ — пусто).
4. Альтернативный практический метод: факторизация (если возможно) и табличка знаков. Например, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. При $a=1>0$ знак произведения $\ge 0$ вне точек $2,3$ и включительно в них для $\ge$: решение $(-\infty ,2]\cup [3,\infty )$.
Типичные ошибки и ситуации, вводящие в заблуждение:
- Не указана область переменных (вещественные, комплексные, целые).
- Путаница со строгим/нестрогим неравенством: для $>$ корни исключаются, для $\ge$ включаются.
- Игнорирование случая $D\le 0$ — может быть решение «все $\mathbb{R}$» или «нет решений».
- Перенос логики для рациональных выражений без проверки знака знаменателя.
Вывод: утверждение корректно для действительных $x$ в данном примере (потому что $D>0$ и $a>0$); при решении общих квадратных неравенств всегда применять описанный алгоритм и явно рассматривать знаки и дискриминант.