В конверте оказалась следующая подсказка — маршрут, который привёл Васю Карандашова к стене. Она уходит в обе стороны далеко за горизонт, но в ней есть огромные ворота, рядом с которыми находится аппарат с монитором и кнопкой. На экране показано натуральное число. Вася нажал на кнопку, число на экране вычлось из числа 2024 , и вывелся новый результат. Юноша ещё раз нажал на эту кнопку, и число поменялось по тому же алгоритму, что и при первом нажатии. Тогда Вася нажал кнопку в третий раз, алгоритм снова повторился, и на экране появилось изначальное число. Ворота тут же открылись. Какое число было на экране изначально?
Пусть начальное число равно x\;xx. Операция кнопки — вычитание из 2024, т.е. f(x)=2024−xf(x)=2024-xf(x)=2024−x. Тогда f(f(x))=2024−(2024−x)=xf(f(x))=2024-(2024-x)=xf(f(x))=2024−(2024−x)=x, поэтому f3(x)=f(x)f^3(x)=f(x)f3(x)=f(x). По условию f3(x)=xf^3(x)=xf3(x)=x, значит f(x)=xf(x)=xf(x)=x. Получаем 2024−x=x,
2024-x=x, 2024−x=x,
откуда 2x=2024\;2x=20242x=2024 и x=1012\;x=1012x=1012.
2024−x=x, 2024-x=x,
2024−x=x, откуда 2x=2024\;2x=20242x=2024 и x=1012\;x=1012x=1012.