Проверка и вывод.
Проверим малые $n$:
$0!=1,2^0=1$ (равно),
$1!=1<2=2^1$,
$2!=2<4=2^2$,
$3!=6<8=2^3$,
$4!=24>16=2^4$.
Значит не для всех натуральных $n$ верно $n!>2^n$; оно впервые истинно при $n=4$.
Индукционный шаг (корректный при стартовой базе $n=4$). Пусть для некоторого $n\ge 4$ выполнено
$$n!>2^n.$$ Тогда
$$(n+1)!=(n+1)n!>(n+1)2^n.$$ Поскольку при $n\ge 4$ имеем $n+1\ge 5>2$, то $(n+1)2^n>2\cdot 2^n=2^{n+1}$. Следовательно
$$(n+1)!>2^{n+1}.$$ Итак, при базовом случае $4!>2^4$ и указанном индукционном шаге утверждение выполняется для всех $n\ge 4$.
Замечание: неверный (противоречивый) вариант доказательства пытается стартовать с $n=1$ — тогда база ложна, и индукция не даёт общего утверждения.