Коротко — ключевая точка: в одномерном случае на отрезке ограниченность производной действительно даёт липшицевость с тем же константом (Mean Value Theorem). В многомерном случае нужно дополнительно требовать «удобную» форму области (например, выпуклость) или управлять длиной путей в области; без этого можно построить контрпример.
Объяснение и пример
- Одинер. Если $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ дифференцируема на $(a,b)$ и $|f^{\prime }(x)|\le M$ на $(a,b)$, то по теореме Лагранжа для любых $x,y\in [a,b]$ $$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|,$$ то есть $f$ — $M$-липшицева.
- Многомерный случай. Пусть $U\subset {\mathbb{R}}^n$ — не обязательно выпуклая область. Даже если $f:U\to \mathbb{R}$ дифференцируема на $U$ и ${\sup }_{x\in U}\Vert Df(x)\Vert \le M$, это не обязательно даёт $|f(x)-f(y)|\le M\Vert x-y\Vert$ для всех $x,y\in U$, потому что линейный отрезок между $x$ и $y$ может не лежать в $U$, а оценивая разность по пути внутри $U$ мы получим
$$|f(x)-f(y)|\le M\cdot \text{(длина пути в}U\text{от}x\text{до}y).$$ Если в $U$ существуют точки, близкие по евклидовой метрике, но соединённые только длинными путями (пример: тонкая «спиральная» трубка, которая многократно оборачивается и приближается к центру), то можно построить $C^1$-функцию, равномерно растущую вдоль этой трубки с производной по касательной не более $M$. Тогда $\Vert Df\Vert \le M$ везде, но для некоторых близко расположенных по евклиду точек разность $|f(x)-f(y)|$ будет сколь угодно большой по сравнению с $\Vert x-y\Vert$, т.е. нет липшицевости с константой $M$.
Критерии Липшица (сжатый список)
- На отрезке/интервале: $f$ Lipschitz с константой $L$ тогда и только тогда, когда $f$ абсолютно непрерывна и $f^{\prime }$ существует почти всюду и $\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^{\infty }}\le L$. В частности, если $|f^{\prime }(x)|\le M$ везде, то $f$ — $M$-липшицева.
- В ${\mathbb{R}}^n$: если $U$ выпукло и $f\in C^1(U)$ с ${\sup }_{x\in U}\Vert Df(x)\Vert \le L$, то $f$ — $L$-липшицева (интегральная форма теоремы о среднем значении).
- Общая достаточная условие: если $U$ путь-связна и для всех $x,y\in U$ существует путь в $U$ от $x$ до $y$ длины $\le C\Vert x-y\Vert$, то $\sup \Vert Df\Vert \le L$ влечёт $f$ — $CL$-липшицева.
- Необходимое условие: Lipschitz-функция с константой $L$ дифференцируема почти всюду и в точках дифференцируемости $\Vert Df(x)\Vert \le L$ (теорема Радемахера).
- Локальная липшицевость эквивалентна тому, что на каждом компакте ${\sup }_K\Vert Df\Vert <\infty$.
Итого: ограниченность производной гарантирует липшицевость с тем же константом в одномерном случае или в многомерном при дополнительном требовании на форму области (выпуклость или контроль длины путей). В общем множестве без таких условий контрпримеры (спиральная трубка и т.п.) показывают невозможность вывести глобальную липшицевость с тем же константом.