Кратко — по каждому подходу, подводные камни и вывод. 1) Разбиение по случаям (по определению модуля: ∣f∣=f |f|=f∣f∣=f при f≥0f\ge0f≥0 и ∣f∣=−f |f|=-f∣f∣=−f при f<0f<0f<0) - Плюсы: прямо следует из определения, даёт элементарные неравенства низкой степени. - Минусы: нужно правильно найти интервалы знака f(x)f(x)f(x) (можно ошибиться с границами или пропустить интервалы), больше случаев и арифметики. - Применение к ∣x2−4x+3∣<2 |x^2-4x+3|<2∣x2−4x+3∣<2: f(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)f(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3) имеет нули 111 и 333, значит три случая. Обработка даёт тот же результат, но с лишними шагами. 2) Возведение в квадрат (преобразование в f(x)2<4f(x)^2<4f(x)2<4) - Плюсы: часто упрощает одноточечно: ∣f∣<2 ⟺ f2<4 |f|<2 \iff f^2<4∣f∣<2⟺f2<4 — эквивалентное преобразование, потому что обе стороны неотрицательны. - Минусы: при общем приёме «возвести в квадрат обе части» можно ошибиться, если правая сторона может быть отрицательной или если забыть, что возведение в степень повышает степень полинома (можно получить более высокую степень и усложнить вычисления). В некоторых задачах это приводит к громоздким уравнениям/неравенствам. - Применение: (x2−4x+3)2<4 (x^2-4x+3)^2<4(x2−4x+3)2<4 — решать можно, но это даёт четвертую степень; для данной задачи проще перейти к двойному неравенству (см. ниже). 3) Графический метод - Плюсы: быстрый наглядный ответ, хорошо для проверки и интуиции (график y=∣f(x)∣y=|f(x)|y=∣f(x)∣ пересечения с y=2y=2y=2). - Минусы: требует аккуратного построения/оценки корней и значений; не всегда даёт строгую аналитическую уверенность без дополнительного обоснования; возможны погрешности при ручной отрисовке. - Применение: даёт интервалы пересечения, но лучше подтвердить алгеброй. Рекомендация (наиболее надёжен и простой для данной задачи) - Самый простой и надёжный путь — перейти к двойному неравенству, используя свойства модуля: −2<x2−4x+3<2.
-2 < x^2-4x+3 < 2. −2<x2−4x+3<2.
Преобразуем: верхняя часть x2−4x+3<2 ⟺ x2−4x+1<0x^2-4x+3<2 \iff x^2-4x+1<0x2−4x+3<2⟺x2−4x+1<0. Дискриминант D=16−4⋅1⋅1=12D=16-4\cdot1\cdot1=12D=16−4⋅1⋅1=12, корни x=2±3x=2\pm\sqrt{3}x=2±3, значит 2−3<x<2+3.
2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}. 2−3<x<2+3.
Нижняя часть x2−4x+3>−2 ⟺ x2−4x+5>0x^2-4x+3>-2 \iff x^2-4x+5>0x2−4x+3>−2⟺x2−4x+5>0 — выполняется для всех xxx (дискриминант отрицателен). Итог: x∈(2−3, 2+3).
x\in\bigl(2-\sqrt{3},\,2+\sqrt{3}\bigr). x∈(2−3,2+3). Коротко: для общих задач с модулем сначала предпочтительно свести к двойному неравенству −a<f(x)<a-a<f(x)<a−a<f(x)<a или корректно разбить по знаку — это ясно и надёжно; возведение в квадрат допустимо, но требует осторожности; графика достаточно для понимания, но её стоит дополнить алгебраическим доказательством.
1) Разбиение по случаям (по определению модуля: ∣f∣=f |f|=f∣f∣=f при f≥0f\ge0f≥0 и ∣f∣=−f |f|=-f∣f∣=−f при f<0f<0f<0)
- Плюсы: прямо следует из определения, даёт элементарные неравенства низкой степени.
- Минусы: нужно правильно найти интервалы знака f(x)f(x)f(x) (можно ошибиться с границами или пропустить интервалы), больше случаев и арифметики.
- Применение к ∣x2−4x+3∣<2 |x^2-4x+3|<2∣x2−4x+3∣<2: f(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)f(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3) имеет нули 111 и 333, значит три случая. Обработка даёт тот же результат, но с лишними шагами.
2) Возведение в квадрат (преобразование в f(x)2<4f(x)^2<4f(x)2<4)
- Плюсы: часто упрощает одноточечно: ∣f∣<2 ⟺ f2<4 |f|<2 \iff f^2<4∣f∣<2⟺f2<4 — эквивалентное преобразование, потому что обе стороны неотрицательны.
- Минусы: при общем приёме «возвести в квадрат обе части» можно ошибиться, если правая сторона может быть отрицательной или если забыть, что возведение в степень повышает степень полинома (можно получить более высокую степень и усложнить вычисления). В некоторых задачах это приводит к громоздким уравнениям/неравенствам.
- Применение: (x2−4x+3)2<4 (x^2-4x+3)^2<4(x2−4x+3)2<4 — решать можно, но это даёт четвертую степень; для данной задачи проще перейти к двойному неравенству (см. ниже).
3) Графический метод
- Плюсы: быстрый наглядный ответ, хорошо для проверки и интуиции (график y=∣f(x)∣y=|f(x)|y=∣f(x)∣ пересечения с y=2y=2y=2).
- Минусы: требует аккуратного построения/оценки корней и значений; не всегда даёт строгую аналитическую уверенность без дополнительного обоснования; возможны погрешности при ручной отрисовке.
- Применение: даёт интервалы пересечения, но лучше подтвердить алгеброй.
Рекомендация (наиболее надёжен и простой для данной задачи)
- Самый простой и надёжный путь — перейти к двойному неравенству, используя свойства модуля:
−2<x2−4x+3<2. -2 < x^2-4x+3 < 2.
−2<x2−4x+3<2. Преобразуем: верхняя часть x2−4x+3<2 ⟺ x2−4x+1<0x^2-4x+3<2 \iff x^2-4x+1<0x2−4x+3<2⟺x2−4x+1<0. Дискриминант D=16−4⋅1⋅1=12D=16-4\cdot1\cdot1=12D=16−4⋅1⋅1=12, корни x=2±3x=2\pm\sqrt{3}x=2±3 , значит
2−3<x<2+3. 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}.
2−3 <x<2+3 . Нижняя часть x2−4x+3>−2 ⟺ x2−4x+5>0x^2-4x+3>-2 \iff x^2-4x+5>0x2−4x+3>−2⟺x2−4x+5>0 — выполняется для всех xxx (дискриминант отрицателен). Итог:
x∈(2−3, 2+3). x\in\bigl(2-\sqrt{3},\,2+\sqrt{3}\bigr).
x∈(2−3 ,2+3 ).
Коротко: для общих задач с модулем сначала предпочтительно свести к двойному неравенству −a<f(x)<a-a<f(x)<a−a<f(x)<a или корректно разбить по знаку — это ясно и надёжно; возведение в квадрат допустимо, но требует осторожности; графика достаточно для понимания, но её стоит дополнить алгебраическим доказательством.