Для того чтобы функция y = |x² - 8x - a² - a + 18| имела ровно три общих точки с прямой y = 4, необходимо искать значения параметра a, при которых уравнение x² - 8x - a² - a + 18 = 4 имеет два корня.

Преобразуем это уравнение:
x² - 8x - a² - a + 14 = 0

Дискриминант этого уравнения должен быть положительным, чтобы заданное уравнение имело два корня и было выполнено условие.

D = 64 + 4a² + 4a - 56 = 4a² + 4a + 8

Теперь найдем положительные значения параметра a, при которых D > 0:
4a² + 4a + 8 > 0

Дискриминант этого неравенства должен быть меньше нуля:
D = 4² - 4 4 8 = -112

Так как дискриминант отрицательный, то неравенство 4a² + 4a + 8 > 0 выполняется для всех значений параметра a.

Ответ: любое положительное значение параметра a подходит для заданного условия.