В геометрическом пространстве вектор представляет собой направленный отрезок, который имеет длину и направление. Вектор можно задать двумя способами: либо координатами его конца, либо координатами начала и конца.

Векторное пространство свободных векторов на поле R обозначается как R^n, где n - размерность пространства. Это пространство включает в себя все возможные комбинации векторов, которые можно получить путем умножения векторов на скаляры из поля R и их сложения.

Изоморфизм между векторами пространства R и пространством свободных векторов над полем R заключается в том, что каждому вектору в пространстве R можно поставить в соответствие определенный вектор в пространстве свободных векторов, и наоборот. Изоморфизм сохраняет все свойства векторов, такие как длина, направление и операции сложения и умножения на скаляр.

Таким образом, изоморфизм позволяет нам связать геометрическое представление векторов в пространстве с их абстрактным математическим представлением в виде свободных векторов над полем R.