Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = ctg(x) с вертикальными прямыми x = π/4 и x = 2π/3.
Подставим x = π/4 и x = 2π/3 в уравнение y = ctg(x):
y(π/4) = ctg(π/4) = 1
y(2π/3) = ctg(2π/3) = -√3

Теперь найдем площадь трапеции, ограниченной этой кривой, вертикальными прямыми x = π/4 и x = 2π/3 и осью OX:
S = ∫[a,b] y(x)dx

S = ∫[π/4, 2π/3] ctg(x)dx
S = [ln|sin(x)|] [π/4, 2π/3]

S = ln|sin(2π/3)| - ln|sin(π/4)| = ln√3 - ln(√2/2)
S = ln(√3) - ln(√2/2) = ln(√3 * 2/√2) = ln(√6)

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна ln(√6) или примерно 1.0986.