Для нахождения производной функции ( y = \arcsin(\ln(2x)) ) используем цепное правило дифференцирования.

Сначала найдем производную внутренней функции ( u = \ln(2x) ):
( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2x} )

Теперь найдем производную внешней функции ( y = \arcsin(u) ):
( \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} )

Используя цепное правило, умножаем производную внешней функции на производную внутренней функции:
( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\ln(2x))^2}} \cdot \frac{1}{2x} )

Таким образом, производная функции ( y = \arcsin(\ln(2x)) ) равна:
( \frac{1}{2x\sqrt{1-(\ln(2x))^2}} )