Для доказательства данного утверждения, докажем его от противного.

Предположим, что существует такое натуральное число n, при котором число 13n^2 + 1 делится на 3.

Значит, 13n^2 + 1 ≡ 0 (mod 3)

Это равносильно тому, что 13n^2 ≡ 2 (mod 3)

Так как 13 ≡ 1 (mod 3), то 13n^2 ≡ n^2 (mod 3)

Из уравнения n^2 ≡ 2 (mod 3) следует, что n^2 имеет остаток 2 при делении на 3.

Однако, для всех натуральных чисел n, при возведении в квадрат остаток по модулю 3 может быть только 0 или 1.

Таким образом, предположение о том, что число 13n^2+1 делится на 3 при некотором натуральном n, неверно, и следовательно, число 13n^2+1 не делится на 3 ни при каком n ∈ N.