Для нахождения производной данной функции y = arccot(sqrt(x^2 + 2x)) воспользуемся цепным правилом дифференцирования.

Сначала найдем производную внутренней функции f(x) = sqrt(x^2 + 2x):

f'(x) = (1/2) (x^2 + 2x)^(-1/2) (2x + 2)
f'(x) = (x + 1) / sqrt(x^2 + 2x)

Теперь найдем производную функции y = arccot(f(x)):

y' = -1 / (1 + (f(x))^2) f'(x)
y' = -1 / (1 + (sqrt(x^2 + 2x))^2) (x + 1) / sqrt(x^2 + 2x)

y' = -(x + 1) / (x^2 + 2x + 1) / sqrt(x^2 + 2x)
y' = -(x + 1) / (x^2 + 2x + 1) / sqrt(x^2 + 2x)
y' = -(x + 1) / (x + 1)^2 / sqrt(x^2 + 2x)
y' = -1 / (x + 1) / sqrt(x^2 + 2x)

Итак, производная функции y = arccot(sqrt(x^2 + 2x)) равна -1 / (x + 1) / sqrt(x^2 + 2x).