Для того чтобы уравнение $ax = \log_a x$ имело ровно один корень, необходимо чтобы функции $y = ax$ и $y = \log_a x$ пересекались в одной точке.

Это происходит, когда графики этих функций совпадают на промежутке $0 < x < \infty$. То есть их производные тоже должны совпадать на этом промежутке.

Производная $y = ax$ равна $a$, а производная $y = \log_a x$ равна $\frac{1}{x \ln a}$.

Итак, равенство производных на промежутке $0 < x < \infty$ приводит к равенству $a = \frac{1}{x \ln a}$.
Отсюда получаем $ax \ln a = 1$.

Подставим $a = e^b$, тогда получаем $e^b \cdot e^b \cdot b = 1$, откуда $b^2 e^b = 1$.

Решая численно это уравнение, получаем $b \approx 0.56714329$, что соответствует $a \approx 1.76322$.

Таким образом, искомое значение $a$ равно приблизительно $1.76322$.