1) Изучим монотонность функции f(x)=2sin2x:

f'(x) = 4cos2x

Так как косинусная функция изменяется от -1 до 1, то f'(x) будет менять знак отрицательный и положительный в зависимости от значения x. Таким образом, функция f(x)=2sin2x монотонно возрастает на интервалах (-π/4+2πk, π/4+2πk) и монотонно убывает на интервалах (π/4+2πk, 3π/4+2πk), где k - целое число.

2) Изучим монотонность функции f(x)=(1/4)x^4-(1/3)x^3-3x^2+2:

f'(x) = x^3 - x^2 - 6x

Нахождение корней уравнения f'(x) = 0 дает корни x = -2, x = 0, x = 3. Построим таблицу знаков производной:

x < -2: f'(-3) = (-)^3 - (-)^2 - 6(-) = -1 + 1 + 6 > 0
-2 < x < 0: f'(-1) = (-)^3 - (-)^2 - 6(-) = -1 - 1 + 6 > 0
0 < x < 3: f'(1) = 1 - 1 - 6 < 0
x > 3: f'(4) = 64 - 16 - 24 > 0

Следовательно, функция f(x)=(1/4)x^4-(1/3)x^3-3x^2+2 монотонно возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, 3) и монотонно убывает на интервале (3, +∞).

3) Изучим монотонность функции f(x)=(x^2+1)/x:

f(x) = x + 1/x

f'(x) = 1 - 1/x^2

f''(x) = 2/x^3

Знак второй производной зависит от знака x. Функция f(x) имеет экстремумы в точке x=1 (минимум) и x=-1 (максимум). На интервалах (-∞, -1) и (1, +∞) функция монотонно возрастает, на интервале (-1, 1) функция монотонно убывает.

1) Исследуем функцию f(x)=x^2-2/x на экстремумы:

f'(x) = 2x + 2/x^2

Находим корни уравнения f'(x) = 0: x = ±1. Проверяем знаки производной до и после корней:

x < -1: f'(-2) = -4 + 1 < 0
-1 < x < 1: f'(-1/2) = -1 + 16 > 0
x > 1: f'(2) = 4 + 1 < 0

Следовательно, функция f(x)=x^2-2/x имеет локальный минимум в точке x=-1 и локальный максимум в точке x=1.

Для оставшихся функций проведите аналогичные исследования на экстремумы.