Чтобы найти производные функции y=x^tgx, используем правило дифференцирования произведения функций.

y = x^tgx = e^(ln(x^tgx))

y = e^(ln(x^tgx)) = e^(tgx * ln(x))

Теперь дифференцируем полученное выражение по переменной x:

dy/dx = d/dx [e^(tgx * ln(x))]

Применим правило дифференцирования для функций вида e^(u(x)), где u(x) = tgx * ln(x):

dy/dx = e^(tgx ln(x)) (tgx (1/x) + ln(x) sec^2(x))

Таким образом, производная функции y=x^tgx равна:

dy/dx = x^tgx (tgx (1/x) + ln(x) * sec^2(x))