Для начала приведем уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, используя поворот и параллельный перенос системы координат.

Для этого сначала составим матрицу квадратичной формы:

Q = |5 2 4 |
|2 8 7 |
|4 7 8 |

Найдем собственные значения и собственные векторы этой матрицы:

Найдем определитель матрицы (Q - λI):

det(Q - λI) = |5-λ 2 4 |
|2 8-λ 7 |
|4 7 8-λ|

det(Q - λI) = (5-λ)((8-λ)(8-λ)-77) - 2(28 - 47) + 4(27 - 4*8)

det(Q - λI) = (5-λ)(64-16λ+λ^2-49) - 2(16-28) + 4(14-32)

det(Q - λI) = (5-λ)(λ^2-16λ+15) - 24 - 72

det(Q - λI) = -λ^3 + 16λ^2 - 15λ + 64λ - 16*15 - 96

det(Q - λI) = -λ^3 + 16λ^2 + 49λ - 336

Найдем корни характеристического уравнения det(Q - λI) = 0:

-λ^3 + 16λ^2 + 49λ - 336 = 0

Подбирая корни уравнения, находим, что корень λ = 3

Найдем собственные векторы для найденного корня:

(D - 3I)V = 0, где D - матрица из собственных значений, V - вектор значений

(5-3)v1 + 2v2 + 4v3 = 0
2v1 + (8-3)v2 + 7v3 = 0
4v1 + 7v2 + (8-3)v3 = 0

Решив эту систему уравнений, найдем собственный вектор v1 = (-2, 1, 1)

Произведем матричное умножение матрицы поворота исходной матрицы:

A = |cos(φ) -sin(φ)|
|sin(φ) cos(φ)|

где φ - угол поворота, cos(φ) = sqrt((1 + cos(2θ))/2), sin(φ) = sqrt((1 - cos(2θ))/2)

cos(φ) = sqrt((1 + 13/sqrt(13^2+9^2))/2) = sqrt(11/26)
sin(φ) = sqrt((1 - 13/sqrt(13^2+9^2))/2) = sqrt(15/26)

A = |sqrt(11/26) -sqrt(15/26)|
|sqrt(15/26) sqrt(11/26)|

Теперь произведем поворот матрицы Q на угол φ:

Q_new = A^T Q A

где A^T - транспонированная матрица A

Произведем параллельный перенос системы координат:

x = x' + a
y = y' + b

где x', y' - новые координаты, a, b - параметры параллельного переноса

Подставим уравнение x и y в уравнение канонической формы и приведем его к стандартному виду:

Bx'^2 + Dy'^2 + E = 0

Позволяет строить график исходного уравнения, используя параметрическое уравнение.

Например, для B = 4, D = 8, E = 5:

x(t) = (2sqrt(11/26))cos(t) - (sqrt(15/26))sin(t) + a
y(t) = (2sqrt(15/26))cos(t) + (sqrt(11/26))sin(t) + b

где t - параметр

Таким образом, можно построить соответствующую систему координат и кривую по ее каноническому уравнению.